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0
の
に凸の放物
ある条件と同じ
基本例題 14 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件
00000
0≦x≦8のすべてのxの値に対して, 不等式x-2x+m+60 が成り立つよ
うな定数mの値の範囲を求めよ。
[類 奈良大〕 ■基本 79
に接する。
ある条件と
ではなくD
指針 この問題ではxの変域に制限があるから、 例題 113と同じように考えてはダメ!
そこで、問題をグラフにおき換えてみると、求める条件は
「0≦x8 の範囲でy=x²-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」
「ということ。これを (区間内の最小値) > 0 と考えて進める。 ・・・・・・・・・
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
解答
求める条件は 0≦x≦8 におけるf(x)=x²-2mx+m+6の最
小値が正となることである。
または「任意ゆえに m+6>0
等式が成り立つ、
雪が、すべての
f(x)=(x-m)"-m²+m+6であるから、軸は直線x=m
[1] m<0のとき, f(x)はx=0 で最小
[1]
となり, 最小値はf(0)=m+6
よってm>-6
<0であるから(*) -6<m<0.... ①
[20≦m≦8のとき, f(x)はx=mで最
小となり, 最小値は
f(m)=-m²+m+6
ゆえに
m²+m+6>0
すなわち m²-m-6<0
これを解くと, (m+2)(m-3)<0 から
-2<m<3
[3]
0≦m≦8であるから(*) 0≦m<3 ...... ②
m
[3]8<m のとき, f(x)はx=8で最小
となり, 最小値はf(8)=-15m+70
[2]
ゆえに,15m+70> 0から m< 3
これは8<m を満たさない。 (*)
求める の値の範囲は ① ② を合わせて
POINT
08
0m8
m
140 8 x
-6<m<3
f(x) の符号が区間で一定である条件
区間でf(x) > 0
区間でf(x)<0
0
x
<f(x)=x2-2mx+m+6
(0≦x) の最小値を求め
る。 → p.130 例題 79 と同
様に,軸の位置が区間
0≦xの左外か,内か.
右外かで場合分け。
[1] 軸は区間の左外にあ
るから、区間の左端
(x=0) で最小となる。
[2] 軸は区間内にあるか
ら, 頂点 (x=m) で最小
となる。
[3] 軸は区間の右外にあ
るから 区間の右端
(x=8) で最小となる。
(*) 場合分けの条件を満た
すかどうかの確認を忘れずに。
[1], [2] では共通範囲をとる。
合わせた範囲をとる。
[区間内のf(x)の最小値] > 0
[区間内のf(x)の最大値] <0
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2
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