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基本例題 76 2次関数の最大・最小 (1)
次の2次関数に最大値, 最小値があれば,それを求めよ。
(1) y=3x²+4x-1
(2) y=-2x2+x
指針▷ まずy=ax²+bx+c の形の式を変形 (平方完成) して,
基本形y=a(x-p+g に直す ..........!
次に, 定義域は実数全体であるから, グラフが上に凸か
下に凸かに注目する。
下に凸の放物線
上に凸の放物線
CHART 2次式の扱い 平方完成してa(x-b) +αに直す
解答
(1) y=3x2+4x-1
x==
よって, グラフは下に凸の放物線で,
頂点は(-.--)
ゆえに
7
(2)y=-2x2+x
最大値はない。
頂点で最小
頂点で最大
7
で最小値-1/23
ゆえにx=
1
= -2(x-1)² + ¹
よって, グラフは上に凸の放物線で,
頂点は点 (1/11/3)
-1/13 で最大値 1/11
4
最小値はない。
最大値はない。
最小値はない。
8
10
9₁
0
最小
最大
-1
x
00000
p.126 基本事項 重要87
a>0
下に凸
頂点で最小
13x²+4x-1
= 3{x² + x + ( ² )²}
a<0
上に凸
頂点で最大
-1
<2x²+x
yの値はいくらでも大きく
なるから、 最大値はない。
=-2x-1/2/2x+(1/4)}
+2·(1)²
yの値はいくらでも小さく
なるから, 最小値はない。
注意 問題文に書かれていなくても、最大値・最小値を求める問題では,それらを与えるxの値を
示しておくのが原則である。
また、「最大値、最小値があれば,それを求めよ。」 という問題で, 最大値または最小値がな
い場合は,上の解答のように 「~はない」 と必ず答える。
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3章
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2次関数の最大・最小と決定