発例題
展 52 2次方程式の解についての証明問題
<<< 基本例題46
①
000
a b は定数とする。 方程式 (x-a)(x-b)+x+1=0 の2つの解をα,Bとす。
ると,方程式(x-a)(x-β)-x-1=0 の2つの解は a, b であることを証明
せよ。
CHART
解と係数の問題
GUIDE
解と係数の関係を書き出す
すると、この例題の
一解答の方程式 ①,②から。
条件は α+β=a+b-1, αβ=ab+1
結論は
a+b=a+β+1,ab=aβ-1
となり,③ から ④を示すとよいことになる。
......
4
解答
(x-a)(x-b)+x+1=0 の左辺を展開して整理すると
x2-(a+6-1)x+ab+1=0 ①
この2つの解がα, β であるから,解と係数の関係により
ゆえに
a+β=a+b-1, aβ=ab+1
a+b=a+β+1, ab=aβ-1
このことは, a, b が2次方程式
x2-(a+β+1)x+αβ-1=0
すなわち (x-α)(x-β)-x-1=0
の解であることを示している。
Lecture 因数分解の利用
x²+px+g=0 の2つの
解がr,s
⇔
r+s=-p
rs=q
GUIDE の方針により,
1 を移する。
FotstJ
■x2-(和)x+ (積) = 0
②の左辺を変形。
2次方程式の解α, β に対して, (x-α)(x-B), (-a) (-B), (α-)(B)の形の式
が出てきたときは
平
ax2+bx+c=0 の2つの解がα, ßax+bx+c=a(x-a)(x-β)
を利用することで, あざやかに解決できることがある。
[上の例題の別解] (x-a)(x-b)+x+1=0 の2つの解がα, β であるから
左辺は, (x-a)(x-b)+x+1=(x-a)(x-B)と因数分解できる。
(x-a)(x-B)-x-1=(x-a)(x-b)
ゆえに
よって,
←
移項
(x-a)(x-β)-x-1=0 の2つの解は a, b である。
J
全宗
