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基本例
例題 65 逆関数の微分法は有理数) の導関数
(3) 次の関数を微分せよ。
(1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。
(2) y=x+3.xの逆関数をg(x)とするとき,微分係数g' (0) を求めよ。
/p.110 基本事項 5.
(イ) y=x2+3
dy
1
指針 (1) (2) 逆関数の微分法の公式
を利用して計算する。
dx
dx
dy
(1) y=xの逆関数は
x=y" (すなわち y=xl)
xyの関数とみて”で微分し、 最後にyをxの関数で表す。
(2)y=g(x)として,(1) と同様にg'(x) を計算すると,g'(x)はyで表される。
(3)
→x=0のときのyの値 [=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。
(x)'=x-
有理数のとき
(1) y=xの逆関数は, x=y' を満たす。
を利用。
別解 (1) y=x3の逆関数
解答
よって
dx
dy
= 3y 2
ゆえにx≠0のと
dy
1
1
1
dx dx
3y2 3(y³) 3x3
3
dy
y=x1で
② 48
249
dy-(x3)-x-
dx
③
(2)/y=g(x) とすると, 条件から x=y+3y ･･････ ① が満 関数 f(x) とその逆関数
何のためにだされる。
若いてる?
①から
x=0のとき
dy 1
1
g'(x) = x=dx = 3y¹³ +3
dy
32
'+3y=0 すなわち y ( y2+3)=0
y'+3>0であるから
y=0
1
g'(0) = 3.0 74+3 = 1/3
302+3
したがって
3
(3) (7)_y=(x)'=x=-
4√x
f'(x) について
y=f(x)⇔x=f'(y)
の関係があること(p.24
基本事項20) に注意。
(1)_y={(x²+3)³)'=(x²+3)(x²+3)=√x²+3
練習
y=
② 65
1/3の逆関数の導関数を求めよ。
(2)/(x)=- の逆関数f'(x)のx=1
x+1
(3) 次の関数を微分せよ。
合成関数の微分。
65
における微分係数を求めよ。
[ (イ) 広島市大]
1
(ア)y=
2
(1) y=√2-x3
(ウ) y=
x-1
p.115 EX 50, 52
x+1
