114.3 1からpのk乗までの自然数のうち、 pの倍数の個数がpのk乗÷pで求まるのはなぜですか？？

482 A 00000 互いに素である自然数の個数 例題 ( 114) [類名古屋大 nを自然数とするとき, m≦n で, mとnが互いに素であるような自然数mの 重要 個数をf(n) とする。 また, p, g は素数とする。 (1) f (15) の値を求めよ。 (3) 自然数に対し, f(p) を求めよ。 指針 (1) 15 と互いに素である 15 以下の自然数の個数を求めればよい。 15=3･5であるから 15 と互いに素である自然数は, 3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。 しかし、 「でない」 の個数を求めるのは一般に面倒なので, 全体 (である)の方針で考える。 (2) は異なる素数であるから, bg と互いに素である自然数は, pの倍数でもgの倍 TRAND 数でもない自然数である。 (1) と同様, 全体 (である)の方針で考える。 (3) と互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 解答 (1) 15=3.5 であるから, f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3.3, 4.3, 1.5, 2.5, 3.5 を除いたものの個数であるから f(15)=15-7=8 (2) p, g は異なる素数であるから, pg と互いに素である自然 数は,pの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに, f(pg) は, 1 から by までのby 個の自然数のうち D p,2p,......, (q-1) p, paig, 2g, , (p-1)q, pq を除いたものの個数である。 よって f(pg) = pg-(p+α-1) = pg-p-g+1 (2) gf (pg) を求めよ。 FRO =(p-1) (q-1) (3) 1からp までの個の自然数のう の倍数はppp1(個)ある から、f(p) はかの倍数でないものの個数を求めて f(p)=p²-pk-1 ISMAI ①pは素数, kは自然数のとき ② p q は異なる素数のとき ②' p q は互いに素のとき pの倍数 (9個) 練習 (3) ③ 114 (1) f(77) の値を求めよ。 gの倍数 (個) 1~pq pg(1個) bigと 互いに素 基本112,113) 15 程度であれば,左の解答 でも対応できるが,数が大 きい場合には,第1章の基 本例題1で学習した, 集合 の要素の個数を求める要領 で考える。 検討 オイラー関数(n) CADRE n は自然数とする。1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をΦ(n) と表す。 このΦ(n) をオイラー関数といい, 次の性質があることが知られている。 $(p)=p-1, (p²)=p²-pk-1 (pa)=(p)o(q) 上の重要例題 114 の f (n) について,次の問いに答えよ。 <pg が重複していることに 注意。 はギリシア文字で「ファイ」と読む。 [(1) で確認] p=3,g=5 とするとf(15)=f(3.5) =(3-1)(5-1)=2.4=8 (pa)=(p)o(q)=(p-1)(q-1) (1-1/2)としてもよい。 (2) f (pg) = 24 となる2つの素数p, g (p<g) の組をすべて求めよ。 (3) f(3) = 54 となる自然数kを求めよ。 [類 早稲田大〕 1 STT p.484 EX80 基本 2 (2) CHA 解 (I) 20 素因 1か 1

114.2 2番で問われていることは「mとpqが互いに素であるような自然数mの個数をf(pq)として、p≠qのときのf(pq)を求めろ」ということですか？　

482 A 00000 互いに素である自然数の個数 例題 ( 114) [類名古屋大 nを自然数とするとき, m≦n で, mとnが互いに素であるような自然数mの 重要 個数をf(n) とする。 また, p, g は素数とする。 (1) f (15) の値を求めよ。 (3) 自然数に対し, f(p) を求めよ。 指針 (1) 15 と互いに素である 15 以下の自然数の個数を求めればよい。 15=3･5であるから 15 と互いに素である自然数は, 3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。 しかし、 「でない」 の個数を求めるのは一般に面倒なので, 全体 (である)の方針で考える。 (2) は異なる素数であるから, bg と互いに素である自然数は, pの倍数でもgの倍 TRAND 数でもない自然数である。 (1) と同様, 全体 (である)の方針で考える。 (3) と互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 解答 (1) 15=3.5 であるから, f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3.3, 4.3, 1.5, 2.5, 3.5 を除いたものの個数であるから f(15)=15-7=8 (2) p, g は異なる素数であるから, pg と互いに素である自然 数は,pの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに, f(pg) は, 1 から by までのby 個の自然数のうち D p,2p,......, (q-1) p, paig, 2g, , (p-1)q, pq を除いたものの個数である。 よって f(pg) = pg-(p+α-1) = pg-p-g+1 (2) gf (pg) を求めよ。 FRO =(p-1) (q-1) (3) 1からp までの個の自然数のう の倍数はppp1(個)ある から、f(p) はかの倍数でないものの個数を求めて f(p)=p²-pk-1 ISMAI ①pは素数, kは自然数のとき ② p q は異なる素数のとき ②' p q は互いに素のとき pの倍数 (9個) 練習 (3) ③ 114 (1) f(77) の値を求めよ。 gの倍数 (個) 1~pq pg(1個) bigと 互いに素 基本112,113) 15 程度であれば,左の解答 でも対応できるが,数が大 きい場合には,第1章の基 本例題1で学習した, 集合 の要素の個数を求める要領 で考える。 検討 オイラー関数(n) CADRE n は自然数とする。1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をΦ(n) と表す。 このΦ(n) をオイラー関数といい, 次の性質があることが知られている。 $(p)=p-1, (p²)=p²-pk-1 (pa)=(p)o(q) 上の重要例題 114 の f (n) について,次の問いに答えよ。 <pg が重複していることに 注意。 はギリシア文字で「ファイ」と読む。 [(1) で確認] p=3,g=5 とするとf(15)=f(3.5) =(3-1)(5-1)=2.4=8 (pa)=(p)o(q)=(p-1)(q-1) (1-1/2)としてもよい。 (2) f (pg) = 24 となる2つの素数p, g (p<g) の組をすべて求めよ。 (3) f(3) = 54 となる自然数kを求めよ。 [類 早稲田大〕 1 STT p.484 EX80 基本 2 (2) CHA 解 (I) 20 素因 1か 1

bの範囲がなぜそうなるのかわかりません。教えてください。

[2] U={x|x は 18以下の自然数}を全体集合とし, ひの部分集合 A,Bを次のよ うに定める. a=2 A={4,5,7,8,11, a, 15}, B={x|x∈U, b≦x≦c}. ただし, αは 11<a<15 を満たす整数, b,c は 1≦bc≧18 を満たす整数 とする. (1) α=12,6=5,c=10 のとき, 集合AN B, および集合ANB をそれぞれ 要素を書き並べて表せ. (2) α=12 のとき, BCA となるような集合Bのうち, 要素の和が最小となる ような集合 B, 要素の和が最大となるような集合B をそれぞれ要素を書き並べ て表せ. 1106 (3) Uの部分集合Cを次のように定める. C={x|x∈U,xは18の約数}. 集合 (And) B の要素が偶数のみとなるような集合 (A∩C) B のうち, 要素の個数が最大となる a,b,cの中で, a +6 + c の値が最大となる組 (a,b,c) を求めよ. - 3- -

（2）でBの要素が2個以上の連続する整数になる理由がわかりません。教えてください。

[2] U={x|x は 18 以下の自然数}を全体集合とし、ひの部分集合 A,B を次のよ うに定める. A = {4,5,7,8, 11, a, 15}, B={x|x∈U, bxc. ただし, a は 11 <a <15 を満たす整数,b,c は 1b<c≦18 を満たす整数 とする. (1)a=12,6=5,c=10 のとき, 集合 A∩ B, および集合 AnB をそれぞれ 要素を書き並べて表せ. (2) α=12 のとき, BCA となるような集合 B のうち, 要素の和が最小となる ような集合 B, 要素の和が最大となるような集合 B をそれぞれ要素を書き並べ て表せ. (3) Uの部分集合Cを次のように定める. C={x|xEU, x は18の約数}. 集合 (ANT) B の要素が偶数のみとなるような集合 (And) Bのうち, 要素の個数が最大となる a,b,c の中で,a+b+c の値が最大となる組 (a, b, c) を求めよ.

数A 場合の数 集合と要素についての質問です (A∪B)の前についている｢n｣は何ですか？ 何故ここにnがつくのか、このnにどのような意味があるのかわかりません。 何方か優しい方、教えて頂きたいです。

1 集合と要素 |1| 和集合の要素の個数 n (AUB) =n(A)+n (B) -n (A∩B) とくに, A∩B=Φのとき n (AUB) = n(A) + n(B) |2| 補集合の要素の個数 ① n(A)=n(U)—n(A) |3|3つの集合の和集合の要素の個数。 n (AUBUC) *2 =n(A)+n(B)+n(C) (A∩B)-(B∩C) -n (COA)

なんでここには❌ないんですか？教えてください🙇‍♀️

樹形図の利用 本] 例題 毎回異なり、引き分けはなく、 3勝したらそれ以降の試合はない。 最初に1 ある競技は, 6試合のうち3勝すれば勝ち抜きとなる。 ただし、対戦相手は 勝したとき、この競技を勝ち抜くための勝敗の順は何通りあるか。 CHART & SOLUTION 場合の数 書式配列法か樹形図を利用 もれなく 重複なく 勝ちを○、負けを×で表し、 6試合目までに○が3回出てくる場合の樹形図をかく。 そのとき、一定の方針で、順序正しくかく｡ RAVTE S 勝ちを○、負けを×で表し、最初に1勝したときに6試合目 までに3勝する場合の樹形図をかくと,次のようになる。 1 2 4 (i) ○ (ii) よって X 10通り 3 O (iv) O (v) × Ox O X (vi) 15 O XO XO 6 -X O ⑨ p.261 基本事項 21 ○○ 269 ◆分岐する場合、 ○を上に かき,xを下にかく。 (i) 1試合目は○ ( 2試合目は○、×に 分岐｡ ( 2試合目が○のと き,○,×に分岐。 (iv) ○-○-○のとき, 勝ち抜け。 (v) ○-○-xのとき ○ ×に分岐。 これを6試合目まで繰 り返す。 ただし、途中で 明らかに3勝できなく なった枝は考えなくて よい。 例えば, (vi) で次 に×となると, 6試合目 に○でも3勝できない から, (vi) から × となる 枝はかかない。 1 集合の要素の個数 場合の数

黄色チャートからの出題です。 一枚目答えより、最終の式ではなぜ-2と+2をしているのでしょうか？

PR @11 150以下の正の整数全体の集合 (150, 149, 2,1}で3の倍数からなる部分集合をX,4 の倍数からなる部分集合をY, 5の倍数からなる部分集合をZとする。このとき,集合 (XY)UZの要素の個数は 集合 XUYUZの要素の個数は 個, 1個である。 n((XnY)UZ) = n(XY)+n(Z)-n((XY)NZ) n(XUYUZ) = n(X)+n(Y)+n(Z) on(XY)-n(YNZ)-n(ZX) + n(XnYnz) X={3.1, 3.2, ......, 3-50} であるから Y={4･1, 4･2, 4･37}であるから z={5·15·2, ......, 5-30} であるから n(Z)=30 XOY は3と4の最小公倍数 12の倍数全体の集合S-1 XCY={12.1, 122, ......, 12·12} よって n(X∩Y)=12 YOZ は4と5の最小公倍数 20 の倍数全体の集合で百 YOZ= {20.1, 20.2, ......, 20•7} よって n(YnZ)=7 ZOXは 5と3の最小公倍数 15の倍数全体の集合で Z∩X={15.1,152, ......, 15.10} よって n(ZnX)=10 XOYOZ は3と4と5の最小公倍数 60の倍数全体の集合で XYZ={60･1,60・2} n(XAYNZ)=2 動画集! n((XnY)UZ)=12+30-2=740 よって したがって n(X)=50=1.3150÷3の商は50 (Y)=37 ■150÷4 の商は 37 ■ 150÷5の商は30 XOY を A とおくと n(AUZ) = n(A)+n(Z) n(ANZ) - n(XUYUZ)=50+37+30-12-7-10+2=90 [摂南大] 150÷12の商は12 ■150÷20の商は7 150÷15の商は10 150÷60 の商は2 246001 (1) BUSIN AS

黄色チャートより出題の問題です。 なぜCの部分だけ問題文に載っている数より-3引かれているのでしょうか（A∩CとB∩C）。

八要 例題 10 グループの人数と集合 (3つの集合) 人は13人,C市に行ったことのある人は 30 人であった。 B市とC たことのある人はx人A市とC市に行ったことのある人は9人 市に行ったことのある人は10人であった。A市とB市とC市に行ったこと のある人は3人, A市にもB市にもC市にも行ったことのない人は 28人であ ● 基本 3, p. 275 STEP UP | った。このとき、xの値を求めよ。 解答 全体集合をひとし, A市, B市,CU (100)・ 市に行ったことのある人全体の集合 を,それぞれA, B, C とする。 28 右の図のように, 要素の個数 α, bを 定めると CHART & SOLUTION 集合の応用問題 DUSUA をかいて 1 順に求める 2② 方程式を作る ②21の方針で解く。図において分割される各部分集合の要素の個数をかき込んでいく。 そして,残った部分の要素の個数をa, bとおいて考える。 ① JA-SUG AD=SU 6 B(13) a+(x-3)+3+6=50 b+(x-3)+3 +7=13 a+b+14+(x-3)+7+6+3+28=100 これらの式を整理すると a+x=44 a+b+x=45 6-751 ...... x-3 ①. b+x=6 -A (50) a 7 ..2, 1 から a=44-x 2 から b=6-x これらを③に代入して整理すると -x+50=45 って x=5 ある こ。A市とB市に行っ 6 14 €(30) DOO (8)x+(N=(SUA). $300-101 PERTINE n (A∩B∩C) から要素の 個数をかき込んでいく。 n(A)=50 ←n (B)=13 n(U)=100 500人) 1 %/ の C 3 F

なんで、Aは初項2、Bは初項4なんですか？ 7と11じゃないんですか？

④60 200未満の正の整数全体の集合をひとする。 Uの要素のうち, 5 で割ると2余るも NCA の全体の集合をAとし, 7で割ると4余るもの全体の集合をBとする｡ (1) A,Bの要素をそれぞれ小さいものから順に並べたとき, Aの番目の要素を ak とし, B のん番目の要素をbkとする。 このとき, an=0, bn=1 A の要素すべての和はである (2) C=A∩Bとする。 Cの要素の個数は 最大のものは である。 (3) Uに関する AUB の補集合をDとすると, Dの要素の個数は個である。 abe とまた, Dの要素すべての和はｸである。 [近畿大] 90.93 と書ける。 A の要素のうち最大のものは であり、 1個である。 また, Cの要素のうち 1

高一全統模試の問題です。 この問題の(2),(3)の解き方がよく分かりません。 どなたか解説お願いします🙇

[2] U={x|xは18以下の自然数)を全体集合とし, ひの部分集合 A, B を次のよ うに定める. A = {4, 5,7,8, 11, α, 15}, B={xx=U, b≦x≦c}. ただし,αは 11<a<15 を満たす整数, 6.cは1≦b<c≦18 を満たす整数 とする. (1) α=12,b=5,c=10 のとき, 集合 An B, および集合 ANB をそれぞれ 要素を書き並べて表せ. (2) α=12 のとき､BCAとなるような集合Bのうち, 要素の和が最小となる ような集合B, 要素の和が最大となるような集合 B をそれぞれ要素を書き並べ て表せ. (3) Uの部分集合Cを次のように定める。 C=(xlxEU, x は18の約数). 集合 (ACBの要素が偶数のみとなるような集合(ACBのうち、 要素の個数が最大となるα, b,c の中で、a+b+c の値が最大となる組 (a, b, c) を求めよ.