-
![]()
重要 例題 131 導関数から関数決定 (2)
00000
| 微分可能な関数f(x) がf'(x)=lex-1 を満たし, f (1) = e であるとき,f(x)を
2
基本
求めよ。
0=(x)4
基本130
指針 条件f(x)=lex-1から,f(x) =flex-1|dx とすることは
できない。まず、
場合に分ける から
絶対値
y=ex-1
p.22
2
x>0のときf'(x)=ex-1
A
x<0 のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1
x>0のときは,Aと条件f(1)=e から f(x) が決まる。
しかし,x<0のときは, 条件f (1)=e が利用できない。
そこで,関数f(x)はx=0で微分可能x=0で連続
(p.106 基本事項 ②)に着目。
=1
+
0
limf(x) =
limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
+0
X-0
f'(x)=ex-1
x>0のとき,e-1>0であるから
解答 よってf(x)=f(ex-1)dx=e-x+C (Cは積分定数)
......
ゆえに C=1
①
240
=
f (1) =e であるから e=e-1+C
したがって f(x)=ex-x+1
x<0 のとき,ex-1<0 であるから
導関数f'(x) はその定義
から,xを含む開区間で
扱う。 したがって, x>0,
x0 の区間で場合分け
して考える。
以
よってf(x)=f(-exx
f(x)=-x+1)
=-ex+x+D (Dは積分定数)
f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。
ゆえに limf(x) = limf(x)=f(0)
x+0
x-0
limf(x)=lim(ex-x+1)=2
①から
x+0
x+0
② から lim f(x)=lim(-ex+x+D) = -1 + D
x-0
2=-1+D=f(0)
f(x)=-ex+x+3
(1)
AGR-C
f(x)は微分可能な関数。
x-0
よって
ゆえに
D=3
したがって
必要条件。
ex-
このとき, lim
=1から
逆の確認。 121 も参照。
x→0 x
f(h)-f(0)
lim
=lim
ん→+0
h
h→+0
e-h-1
h
=0,
◄lim (1-1)
f(h)-f(0)
-e+h+1
lim
= =lim
=0
lim
0-14
h
0114
h
=(-1)+1}
よって、f'(0)が存在し,f(x)はx=0で微分可能である。の(1)
以上から
e-x+1
f(x)=
e+x+3(x<0)
DET
