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つ
考え
お
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重要 例題 119 等式 a²+b²=c^に関する証明問題
a,b,cは整数とし,+b2=c^2 とする。a,bのうち、少なくとも1つは3の倍
数であることを証明せよ。
基本 117
指針>「少なくとも1つ」の証明では、間接証明法 (対偶を利用した証明, 背理法) が有効であ
る。ここでは,背理法を利用した証明を考えてみよう。
「α, bのうち、少なくとも1つは3の倍数である」の否定は,
「α6はともに3の倍数でない」 であるから,
a =3m+1,3m+2;6=3n+1,3n+2 (m,nは整数)と表される。
よって, a,bがともに3の倍数でないと仮定して, d'+b2=c^2 に矛盾することを導く。
CAHOTSAL
08
CHART
の倍数に関する証明なら,
で割った余りで分類
解答
a,bはともに3の倍数でないと仮定する。
このとき,a2, 62は (3k+1)=3 (3k²+2k)+1,
(3k+2)^=3(3k²+4k+1) +1
のどちらかの式のkに適当な整数を代入すると, それぞれ表さ
れる。
3k2+2k, 3k²+4k+1は整数であるから、3の倍数でない数α,
bの2乗を3で割った余りはともに1である。 [+5]
したがって, a2+b2を3で割った余りは2である。…… ①
一方,cが3の倍数のとき, c2は3で割り切れ,
cが3の倍数でないとき, cを3で割った余りは1である。
すなわち,c2を3で割った余りは0か1である。
2
① ② は a²+6°= c2 であることに矛盾する。 --
ゆえに,a^2+b2=cならば、a,b のうち、少なくとも1つは
3の倍数である。
(平方数とは、自然数の2乗になっている数のこと。)
DCは奇数である
【検討】 ピタゴラス数とその性質
a2+b2=c2
ゴラス数 (a,b,c) について,次のことが成り立つ。
a,
ものうち、少なくとも1つは3の倍数である。
(2)
a,bのうち、少なくとも1つは4の倍数である。
a,b,cのうち, 少なくとも1つは5の倍数である。
3
参考
<a =3m+1,b=3n+2 など
の場合をまとめて計算。
[①の理由]
( 3K+1)+(3L+1)
=3(K+L)+2
AASURA
NOTAR
注意 「平方数を3で割った余りは0か1である」 (上の②) も, 覚えておくと便利である。
**a,
(K,Lは整数)
(から。
(左辺)÷3の余りは2
(右辺) ÷3の余りは0, 1と
なっている。
A を満たす自然数の組 (a, b, c) を ピタゴラス数 という。 A を満たすピタ
FC
<重要例題 119
p.491 EXERCISES 86
p.496 練習 123 (2)
①② から abは12の倍数であり, 1~③から, abc は 60 の倍数である。
b,c, d が等式α'+b'+c2=d2 を満たすとき, dが3の倍数でないな
の中に3の倍数がちょうど2つあることを示せ。
[一橋大]
Op.491 EX86
489
4章
18
整数の割り算と商および余り
あ
あ
九
