(3)が分かりません！ θがなぜ19π/12になるんですか？

10 21 = + 2 し,偏角0 は 0≦0 <2π とする。 (C) 2 郎の水 -i, z2 =1+i のとき,次の複素数を極形式で表せ。ただ is (S) (1) 21 (1) Z122 (2) (3)2122 Z2 id 思考プロセス 2122=- 2 → (1) 「積を計算 「極形式」 の順で考えると... 「極形式で表す。 → 「積を計算」の順で考えると √3+√3-1 + -i ← 偏角を求めにくい。 2 800) & (E) 公式の利用 (税込) }& = (=) 21=r1 (cosOi+isin Oi) 積2122=r1r2{cos(01+02)+isin (Q1+O2)} 積 ・和 |22=r2(cos02+isin02) 商 11 = Z2 12 商 -{cos(01-02)+isin(01-02)}inA 差 Action» 複素数の積(商)は、絶対値の積(商)と偏角の和 (差)を求めよ 11209 Z1, 22 をそれぞれ極形式 です。 2 解 21 COS 17+isin 7, 2 -π, 22= 3 √2 (cos+isin π より |21|=1,|22|= √2, 2 π arg21 -π, arg22 3 4 22 =√√√2 + (1)|z1z2|=|z1||22|=√2,arg(z122) = argz1 + arg22 + 11 12 2 = π 11 ・π 12 3 11 よって Z1Z2=2 cos 11 π+isin 12 12 21 (2) 21 √2 21 arg Z2 22 2 22 = arg21-argz2 = 52 よって Z1 √2 COS Z2 2 19 よって 2122 N 2 cos 127+ isin 1927) 1920 π +isin 7) (3)||=|21|= 1, argzı = argzı = 12 |2122|=|21|22|=√2, arg (2122) = argz+argz212 12 23 TT π = 4 ・π 12 IS (S) 0200 -x)= 5 つい 5|2 12 π 5 5 209 A 12 2 0 2 -πであるから 3 x i 2 200 偏角0 は 02πで考 えるから 21 22 2の偏角は 5 12 +2= 19-0 π 12

マーカーを引いたところが分かりません。 どうやってこの形の式にするんですか？

思考プロセス 問題 118 複素数の実数条件 純虚数条件 z≠ ±i を満たす虚数zに対して, w= (1)w が実数ならば, z=1である。 Z 1+22 (2)w が純虚数ならば,も純虚数である。 ★★★☆ とおく。次のことを示せ。 2/2018 ] = &+ (S) α = a + bi(a,bは実数) に対して, a = a-bi より b=0 a = 0 かつ 60 αが実数 α = α α が純虚数 α = -a, α = 0 nonbA 条件の言い換え 例題 116 (1)w 実数 ↓ w=w wが純虚数 I w=-w lw≠0 ← ← 2 Z 1+22 1+22 2 1+22 1+z2 結論の言い換え A +m)|2|=1/ I →zz=1-012+ zが純虚数 ↓ 2 = -2 [z≠0 (-1)+(8) Action» 複素数が実数ならば=z, 純虚数ならば=z, z=0 とせよ (1)w が実数のとき, w=w が成り立つから 0.0 z = a + bi について + が実数⇔b=0 Z 2 1+(z)2 1 +220] + <2=2 2 Z = より 1+2 よって 1+22 z(1+z^) = z{1+(z)2} = =() B 用する。 (zz-1)(z-z) = 0 zは虚数より zzであるから すなわち, |z|2=1より ||=1 zz-1=0 22(2-2)-(2-2)=0 za+biについて 三(+yzが虚数⇔60 1801) = (8+b)(+0) (2)が純虚数のとき, w=-w であるから (1)より 1+22 よって 1+22 Z = 1+(z) 2 (+22)=z{1+(z)} Z 1+22 zz+zz+z+z=0 (z+1) (z+z) = 0 Tel: 22(2+2)+(万+z)=0 2+2=0 zz+1= |z|2+1>0であるから 例題 116 すなわち 2 = -2 また, w が純虚数のとき, w≠0 であるから したがって, zは純虚数である。 練習 118 お z = 0 z = a + biについて 虚数 a=0, 60 2+0

①と②が負の重解をもつのはなんでダメなんですか？

(1) 定数 αの値を求めよ。 放物線y = x2 … ① と円 x2 + (y-a)=1 例題 267 面積[7] ･･･ 円と放物線で囲まれた部分数 D ★★★☆ ・② は異なる2点で接する。 思考のプロセス (2)円②の外側で, 放物線 ①と円②で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 (1)円と放物線が接する条件は,例題 111 参照。 A (2)S= _ )dx としたいが, D A 円 ②はy=±√ 1 x2 +α となり, 積分計算できない。 見方を変える P A A Q P Q P Q P Q P P a x y Action» 円と曲線で囲まれた部分の面積は、まず中心角を求めよ 解 (1) ①,②より, xを消去すると y+(ya)²=1次数が低くなるようにx y2-(2a-1)y + α-1 = 0 を消去する。 yを消去し 例題 111 よって (3) ①と② が異なる2点で接するのは,③が正の重解をも つときである。 て考えることもできる。 ③の判別式をDとすると D=0 D= {-(2a-1)}² - 4(a² − 1) = −4a+5 -4a+5 = 0 より a = 5 4 このとき, ③は 32 .2 3 9 x+ 2 0 16 これは正の重解 y = 3 4 をもつから a = (2)y= 3 4 ①に代入すると x=+1 √3 よって, 接点P, Q の座標は 2 y (一)で あり、②の中心をAとすると ∠PAQ= 120° 54 例題111 〔別解 1 ) 参照。 SID=0 かつ f(y)=y-(2a-1)y+α-1 の軸の直線 01 y = 8 2a-1 2 >0 から αの値の範囲を求めても い 実際に 「正の」 重解に なることを確かめる。 181 5 A 4 3 A 4 ① 60°- P P √√3 2 2 √3 O 2 √3 XC 2 ∠PAO=60° より ∠PAQ =120° 1 360° 2 12. sin 120°) Q P ① したがって, 求める面積 S は (31S= 3 L(x²)dx-(7.12. 120° 4 3 2 ( πC √3 3 4 4 3/3 π 一 3

(1)が分かりません。 Sを求めるために色々足したり引いたりしているのは分かるんですけど、解説の答えでどうしてSが求まるのかが分かりません。

464 値を舌の関数 例題] 266 面積の最大・最小 〔3〕･･･絶対値 思考プロセス ★★★★ 曲線y=|x(x-2)| と直線 y=kx (0<<2) で囲まれた図形の面積を Sとする。このとき, 次の問に答えよ。 (1)Sをんで表せ (3)Sの最小値を求めよ。 « ReAction 放物線と直線で囲む面積は, 見方を変える (2)Sを最小にするkの値を求めよ。 S" (x-a) (x-B)dx = — — (B-a) を用いよ 例題 255 例題 249 A +++ 単純に分割すると, ← a α 2 2β 計算が大変 a2 β x 公式で求められる であ 使用い を足したり引いたりすることで表すことができないか? (1) 曲線 y=|x(x-2)|は右の図 のようになる。 YA y=-x(x-2)=-x+2xについ て y' = -2x+2 150821201 0≦x<2のとき x = 0 を代入すると y'=2 よって, 02 のとき, 曲線 範囲にそれぞれ共有点 A,Bをもつ。 12 x y=|x(x-2)| と直線 y=kx は, 0<x<2, 2 <xの 共有点Aのx座標は x2+2x=kx B 直線 y=kx の傾きであ るんの値の範囲が 0k<2であり,x=0 における接線の傾きが2 であるから, 曲線 y=x(x-2)|と直線 Dy=kxの位置関係が分 かる。 しん x{x-(2-k)}=0 0<x<2より x = 2-k 2-k/2x 共有点Bのx座標は 2+k x-2x=kx x{x-(2+k)}=0 x=2+k 2<xより よって 2+k S=${kx-(x²-2x)}-2(-x+2x)dx 2+k - -- 2-k +2 {(x²+2x)-kx}dx x{x-(2+k)}dx+2 x (x-2)dx 2-k -2Jx{x-(2-k)}dx S = 0 -2X +2x O 例 23

積分の問題について質問です。 マーカーを引いてあるところが分かりません。 なんで(β-α)^2を計算しているんですか？

• D 261 面積の最大 最小 〔1〕･･･ 放物線と直線 ★★★☆ 点A(1,2)を通り,傾きの直線を1とする。 直線と放物線 C:y = x2 で囲まれる部分の面積Sが最小となるような定数mの値, およびそのと きの面積Sの最小値を求めよ。 の構図になる。公式の利用 思考プロセス « Re Action 放物線と直線で囲む面積は, 「(x-2)(x-B) dx=-1/ (Ba)を用いよ491255 CとIの方程式を連立すると,α,βは複雑。 直接 β-αを求める。 (β-α)3 解と係数の関係から考える。 □点A(1,2) は放物線 Cの上側の点であるから,放物線C と 直線は異なる2点で交わる。 241 直線の方程式はy=m(x-1)+2 であるから, 放物線y=x2 との交点のx座標は 判別式をDとすると D=m²-4m+8 =(-2)^+4> 0 y-2=m(x-1) まれx=m(x-1)+2 例題 すなわち x-mx+m-2=0 の実数解である。 2つの実数解を α, β (α <β) とすると S= Sm(x-1)+2-x)dx CB =(x-mx+m-2)dx 249 よって a ただ 例題 ・B -(x-a)(x-B)dx 35 ここで,解と係数の関係より ゆえに a+β=m, aβ=m-2 1(B-α) 6 (βα)²= (a+β)2-4aB =m²-4m+8 = (m-2)2 +4 = y=x a ( 1 B α <βより,β-α > 0 であるから, β-αは m=2のとき 最小値 √4=2 したがって,Sは 4 m=2のとき 最小値 6 3 23 11 - =2 a x-mx+m-2=0 を実 際に解くと x = であり m±√m²-4m+8 2 β-a=√m²-4m+8 =√(m-2)+4 よって, β-αはm=2 のとき 最小値 √4=2 と考えてもよい。 261点A(0, 1) を通り,傾きの直線を1とする。 直線と放物線 C:y= x2 で 囲まれる部分の面積Sが最小となるような定数の値, およびそのときの面 積Sの最小値を求めよ。 (城西大改) p.469 問題261

マーカーを引いたところが分かりません。 異なる共有点が1つまたは2つだとなぜダメなんですか？

例題 240 4次関数 ★★★☆ 関数f(x)=x4+x-3x-kx+1 が極大値と極小値をもつような定数 k の値の範囲を求めよ。 思考プロセス 定義に戻る 4次関数 f(x) が /極大値) をもつ。 その前後で(f(x) |f'(x) = 0 となるx が存在し, (f'(x) が正から負 に変わる。 極小値 f'(x)が負から正 f(x)=0が3次方程式であるから,例題225のように判別式は利用できない。 «R Action 方程式 f(x)=kの実数解は,y=f(x)のグラフと直線 y=kの共有点を調べよ 例題 237 解 f'(x) = 4x3+3x2-6x-k 関数 f(x) が極大値と極小値をもつための条件は、 f'(x) = 0 となり,かつその前後でf'(x) が負から正およ び正から負に変わる x が存在することである。 このとき,g(x)=4x3+3x2-6x とおくと, 237 曲線y = g(x) と直線 y=kの上下が2度入れかわるか ら, 曲線 y=g(x) と直線 y=kは異なる3つの共有点 をもつ。 g'(x) = 12x2+6x-6 ( 負から正に変わるxで極 小, 正から負に変わるx 製造で極大となる。 f'(x)=g(x)k の正負 を曲線 y=g(x)と直線 y=kの上下から考える。 y=g(x) y =6(2x-1)(x+1) g'(x) = 0 とすると x = -1.1/23 k y=k a 7 X YA y=g(x) 15 よって,g(x)の増減表は次のようになる。 x ... ・1 g'(x) + 0 120 7 g(x)> 5 ... + 4 → y=g(x) のグラフは右の図のよう になるから, 求めるんの値の範囲は <k<5 4 y=k 12- 1074 x g(x)の符号 上の図より, f(x) は x = αのとき極小 x=βのとき極大となる。 g(x)=4.x+3x2-6x-k とおくと (=f'(x)) g'(x)=0のとき -1, であるから (-1)(1/2) <0より の値の範囲を求めてもよ い

赤の印ついているところまでしかわかりません！ 以降を説明していただきたいです！！！！！

例題 161 三角関数の媒介変数表示の関★★★☆ n(t±1)のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) t=tan- 思考プロセス sin0 = 2t 1+12, cose 1-t2 1+t2, 2t tan0 = 1-12 (2) 1-sinė y = 1 + cose (02/23)の最大値と最小値を求めよ。 tantan2. =... (2倍角の公式) = (tの式) 2 見方を変える 相互関係 1 tan から cos を求める 2乗を含むから, cosの正負を ... 1+tan20= cos² coso cos = cos 2. ○とみる 05(2.4) cos0=2cos2- 0 ... --1 ← 2 2 考える必要があり、難しい。 costan 0 tantで表す。 Action» 0と10の関係は,2倍角の公式を利用せよ 0 20 2tan 解 (1) tan0 = tan 2. 2 2t 0 1-t2 1-tan². 2 coso = cos cos(2. 2 =2cos2 1= 1 2 1+tan? 2 ( Play 2 1+t 1-t = 1+t 1 +t2 1+t2 sinė = costand 1-t2 2t 1+t 1-t2 2t 1+t 0 |sinė = 2sin COS 0 (2)t = tan とおくと, (1) の結果より = 2tan cos YA 2 6-28-2 0 から求めてもよい。 2t 1-12 y = + 2t 1+f 1+t sine 1+12, = 1+t 0 π 0≤ ≦ 2 3 1-24 +2.1+6=1/2(t-1)2 2 5, 0 ≤t≤√3 345 (1) 10≤ =0 すなわち 0 0 のとき 最大値 013 t cost= を代入す 1+t2 (12621-) I る。 6-2 VII 0m tan 32 のとき ≤√3 π t = 1 すなわち 0= のとき 最小値 0 0 tan =1より 0-2 日 π 4 2017)の最大値と最小値を求めよ。 √√3-sine 練習 161 y = ≤0≤ 1 + cose 288 [1] 問題161

この問題の次数下げがよく分かりません😭 どなたか教えてください！

229 関数の最大・最小 〔2〕･･･次数下げの利用 08 関数f(x)=x+3x²+x-1 (−2≦x≦1) の最大値と最小値, およびそ のときのxの値を求めよ。 Mod « ReAction 関数の最大・最小は, 極値と端点での値を調べよ 例題 228 極値を求めるために f'(x) = 0 を考えると, 思考プロセス f'(x) = 3x2+6x + 1 = 0 より x= 既知の問題に帰着 3±√6 3 ← これをf(x) に代入するのは大変。 《ReAction 高次式に無理数を代入するときは、2次式で割った余りに代入せよ 例題12 f'(x) = 3x2+6x +1 f'(x) = 0 とすると -3±√6 x= 3 3x2+6x +1 = 0 より -3±√32-3・1 ここで,2√63 であるから x= 3 -3-√6 2 くー 3 5 3' _12-3+√6 -3±√6 <0 3 315 3 よって, −2≦x≦1において, 増減表は次のようになる。x= -3±√ 6 が区間に 3 |-3-√6 - 3+√6 含まれるかどうか調べる。 x -2 ... 1 f'(x) + -30 3 0 + f(x) 1 > 極大 極小 >4 D 例題 12 ここで f(x) = (3x2+6x+1) 1 (1/2x+1/3) 43 x- 43 次数下げをする。 3±√6 36 3 となる x= のとき、f'(x) = 3x +6x +1=0 より のは 3 -3-√6 -3+√6 | 3 + 3 = 43 43 -3-√6 3 - 3+√6 3 4-3 43 4√6 ・うにな 9 4√√6 f'(x) = 3x2+6x+1 = 0 大 のときであるから, f(x) を 3x + 6x +1で割った 余りを考える。 9 4-3 89 4√6 < 9 -3-√6 3 したがって より <S(1) = 4, (-3 (−3+√6)<(-2)= + -3+√6 3 x=1のとき 最大値 4 2 1 -3+√6 x= 3 のとき 最小値 4√6 -3-√6 4√6 3 9 9 x

微分の問題について質問です。 解説のマーカーを引いたところが分かりません。 一つ目のマーカーの部分の式はどうやったらこうなるんですか？二つ目のマーカーのところのt^2-2t-6はどこから出てきたんですか？またそれ以降の計算をする意味が分かりません。

例題 2234次関数のグラフの接線 思考プロセス 例題 221 f(x) = x-4x-8x°とする。 **** (1) 関数 f(x) の極大値と極小値,およびそのときのxの値を求めよ。 (2) 曲線y=f(x) に異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。 (北海道大) ReAction 接線の方程式は、接点が分からなければ (t, f(t)) とおけ 例題 218 (2) 段階に分ける 曲線 y=f(x) 異なる x=t における y=f(x) の接線が x=t 以外の点で再びy=f(x)に接する。 の方程式とy=f(x) を連立すると (x-t) (xの2次式)=0 x=t 以外の重解 ARES 0-(-x=t (1) f'(x) =4.x-12x²-16x=4x(x+1)(x-4) f'(x) = 0 とすると x = -1,0,4 よって,f(x)の増減表は次のようになる。ゴ y=f(x) 再び接する x -1 0 ... 4 |f'(x) 共 0 +0 0 + YA y=f(x)| f(x) -30V -128 7 -10 4 したがって x=0のとき極大値 0 N x=1のとき極小値 3 -3 x=4のとき極小値-128 -128 (2) 曲線y=f(x) 上の点(t,t-4-8t2) における接線 の方程式は,f'(t) = 4t-12-16t g y-(4-4t3-8t2) = (4t³ - 12t² - 16t)(x-t) y= (4t-12-16t)x-3t+8 + 8t? ① と y=f(x) を連立すると .. 1 x-4x³-8x2 = (4t3-12t2 - 16t)x-3+4 +8t3 +8t² (x_t)^{x2+ (2t-4)x+3t2-8t-8} = 0 ①が曲線 y=f(x) と x = t 以外の点で接するのは x2+(2t-4)x +362-8t-8=0... ②がx=t 以外の この接線は1つの接線に 対して、2つの接点が 応している。 このような 接線を複接線という。 例題 218 Point 参照。 x = tで接するから, xt) を因数にもつ。 重解をもつときであるから, ② の判別式をDとする方式 D 4 D=0 141=(t-2)2-(3t-8t-8)= -2t + 4t + 12 よって, 2-2-60 より このとき②重解は t=1±√7 =24-4-t+2=1√7(複号同順) 2 398 これは, tと異なる。 はない

［2］について質問です。 Sをtで微分する理由が分かりません！あと変化率とは何ですか？...

例題 216 いろいろな文字での [1] 次の関数を[]内の文字で微分せよ。 (1) V =1/2μr r²h [r] 3 (2)S = 3t2-2at+α² [a] 〔2〕 半径1cmの球があり,今後この球の半径は毎秒1cmの割合で大き くなっていく。球の表面積Sの5秒後の変化率を求めよ。 思考プロセス 1つの文字に着目 〔1〕(1) 微分以外の変数は定数と考える。 ◆ はもともと定数 +(x)=(x+2) V = 137Th × r² x (2) 定数 ... 〔2〕変化率 … 時刻 t についての変化の割合 ( dS 球の表面積Sの5秒後の変化率･･･t=における → dt S= (tの式)が必要 Action» 多変数の関数の微分は, 微分する変数以外を定数とせよ (G)(1+z) は定数と考える。 解〔1〕 (1) Vをrの関数と考えて V = -Thr² 3 よって dV - dr (2) Sαの関数と考えて 3 3 1 Th(r) = 1h 2r=πhr S = α-2ta+3t $500 どの文字で微分したかを 示すために,V'ではなく dV 入 dr のように書く。 p) = (d+x+x) tは定数と考える。 (3t)' = 0 半径の球の表面積を とすると S=4mr2 よって dS da = (a²)' - 2t (a)' + (3t²)' = 2a-2t 〔2〕 t秒後の半径は (t+1)cm であるから S = 4m (t + 1) = 4m (t2+2t+1) dS よって = =4m(2t+2)=8m (t+1 ) dt t = 5 を代入すると 87.6=48π ゆえに、表面積Sの5秒後の変化率は 48cm²/s (2) (