基本 例題129 和 S と漸化式
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数列{an}の初項から第n項までの和Snが, 一般項anを用いて
|Sn=-2a-2n+5 と表されるとき,一般項an をnで表せ。
n
a=Si
n≧2のときan = Sn-Sn-1
指針▷ an と Sn の関係式が与えられているから, まず 一方だけで表すために
を利用する。ここでは, n=2とn=1の場合分けをしなくて済むように,漸化式
S,=-2a-2n+5でnの代わりにn+1とおいてS+1 を含む式を作り,辺々を引くこと
によって S を消去する。手順をまとめると
① α=S1 を利用し,α を求める。
2 an+1=Sn+1-Sn 4³5, an, an+1 Dl£÷1F3.
Sn+₁ = a₁ + a₂+...+an+an+1)
CHARTD
>*E* (−) Sn =a₁+a₂+ +an
Sn+1−Sn=
an+1
an, an+1 の漸化式から,一般項an を求める。
(
解答
Sn=-2an-2n+5
① とする｡
① に n=1 を代入すると S₁=−2a₁−2+5
S=α であるから
a=-2a-2+5
よって
①から
②① から
BASOFT
したがって
a=1
Sn+1=-2an+1−2(n+1)+5
Sn+1-Sn=-2(an+1−an) -2
BAL
□ Sn+1 -Sn=an+1 であるから
よって
ht=2
3
ゆえに
ここで
a+2=1+2=3
数列{a,+2} は初項3,公比 1/3の等比数
FR
an
an+1+2=
an+1=-2(an+1−a) -2
Statin
2
3
(an+2)
S+n+n
の等比数列であるから
-
=(I+
[皇學館大]
pon-350X
の方程式。(
基本 107,116
(+)
①での代わりにn+1
とおく。
lan+1, an だけの式。
漸化式αnt=pantg
◆特性方程式 α=12/31-1/23
題を解くと α=-2
C# (S)
a FANS (1) **
2n-1
an+2=3. (2²) ² 本
an=3. (12/3)-(12) 20(-2) 画
