東工大数学 採点していただきたいです。 途中まで(ノートの左下)で間違えています 50点中何点もらえますか？

24 する。 辺ABを xl-x (0≦x<l) の比に内分する点Pと,辺ACをy: l-y (0≦y<1> の比に内 分する点Qをとり、線分BQ と線分 CP の交点をRとする。 このとき, RがAM に含まれるような (x,y) 全体をxy平面に図示し, その面積を求めよ。 (ただし、道 AB. 辺ACを0:1の比に内分する点とは,ともに点Aのこととする。) 2003年度 (3) △ABCにおいて, 辺ABの中点をM. 辺ACの中点をとする。 ポイント 前半は、平面ベクトルの典型問題である。 平面上のどのようなベクトルも その平面上の2つのベクトルa, a≠0. b=0, ax b) を用いて, Bb (a. B は実数) の形に表されること, そしてその表し方は1通りであることは重要な事実であ る。また、△ABCの間および内部にある点Pは, AP=αAB+ BAC (a+β≦1,420 B20) で表されることもマスターしておくべき基本事項である。 520) 不等式の表す領域の図示と面積を求めるための定積分計算である。 解法 △ABQにおいて, AQ=yAC (0≦y<1) であるか ら,実数s を用いて AR = (1-s) AB+syAC (0≦s≦1) ...... ① と表せる。 また, ACP において, AP=xAB (0≦x<1) であるから実数を用いて AR=AB+(1-1) AC (0≦t≦) ....... ② と表せる。 ABとACは1次独立 (AB AC. MEAN AB≠0. AC ±0) なので ①②より したがって. ①より AR=(1-1-4) AB+1-5 1-xy ここで -xyAC= x (1-y) 1-xy B 1-s=tx, sy=1-1 が成り立つ。 0≦x<1,0≦y<1に注意して, この2式からtを消去すると 1-1 E'S (1-x) -AB + Level B M O P _y(1-x) -AC 1-xy x(1-y) 1-xy とおくと AM= y (1-x) 9= 1-xy AM-AR AN-ACCA& AR=pAB+qAC=2pAM+2qAN となり、点Rが△AMN に含まれるためには xy- 2p+2q≦1④ が成り立つことが必要十分である。 ③を用いると, ④ ⑤ はそれぞれ y(1-x)206 1-xy x+y-2xy=-xy = 1-xy 0≦x<1,0≦y<1より. ⑤'は成り立つ。 また, 0≦x<1,0≦y<1に注意して, ④'を変形す ると よって, 0≦x<1,0≦y<1のもとで, ④’を満たす 点(x,y)をxy平面に図示すると、右図の斜線部 分(境界はすべて含む)になる。 すなわちy=1/1 23 2p20. 2q205062 [注]不等式 (x-2)(x-2/31) 2010/19 リー = x (1-y), -≥0. 1-xy 5- £² (1.-7. 3) 4 S= 9 2 ---- (10)+ §3 平面図形 129 UN + 1/23 を描く。 次に、この境界線で区切られた3つの部分の1つを選 y= の表す領域を図示するには、まず境界線 (x-2)(x-2)=1/ *3 び、その中の1つの点の座標を不等式に代入してみて、成り立てばその点を含む部分に 斜線を施し(同時に境界線をまたいだ隣の隣にも斜線を施す)。 成り立たなければ隣の 部分に斜線を施す。 正領域∫ (x,y) > 0.負領域f (x,y) <0は境界線をまたいで交互に 現れることを利用するのである。 さて 求める面積をSとすると

最後の問題について、解説中の印をつけた部分の式はどこから出てきたのですか？

2 について考える。 x ²-3 を0でない実数, 6. k を実数とする。 座標平面上で,次の二つの関数のグラフ y=-x(x-√3)(x+√3)+ ax+b y=ax+k ...... 3

置き換えを用いた変数分離形の問題です。次の微分方程式に対して, u = y/x と変数変換して, 一般解と初期条件を満たす特解 を求めよ. ただし, x, y > 0 とする. という問題です。誰か解説をお願いします。

dy dx = 2 y² x(x+y) Y(0) =0

(2)が理解できないです。

関 :) L :) 10. f(x)=x3+x2-x+2,g(x)=2x2+3x-2 とす るとき, 以下の設問に答えよ. (1) f(x) ≧ g(x) となるようなの範囲を求めよ. (2) y=f(x) と y=g(x)のグラフで囲まれた2つ の部分の面積の和を求めよ. (21 東京女大)

3枚目の青丸の部分の数字はどのように決めたのでしょうか。教えて頂きたいです🙏🏻😭

OF y = = = 2 x 第1問 放物線y=212x2 上の点(a, 1/1202) における接線の方程式は である。 ク y= である。この接線が点(-1,-2)を通るとき 8 α = オカ -8= < とする。 ア イ2 x ケ 333x① x²+x. X(X-1) I y₂ 2 x - 7:X-1 = 4 ここで,a= キのときの接線をy=g(x) とする。 キ 2 とする。 y= (2) pp> // を満たす実数とし 2 x2+2x-1-xC+1 = √²² | f(x) = g(x)\dx (x-1)(4x-3) x2 y=1/2x 2/4 2 y- ja²=-=-=-αx-a) + 2² Xa 10(x-a) 8=2ata² また, f(x)=-x+2x-1とし、曲線y=f(x) をCとする。 y=x-1 (1) ℃と直線y=g(x) の交点のx座標は ク と ケである。ただし, z a 4 9x-a 2 年 -2= 2 -x+2x-1= 4 2 2 a @+1=2 a² 2 a² + 2a = 8 =7 ಠ-x²+2x-1=X-1 X ²²-22²-11=-X11 ¥1 xC_ F -4x²8x4=22-1²-² 4x²8x²+4=X+1 x+x:0 4x²² - 7x²+3=0 (第1問は次ページに続く。) 4×51 X(X-1 xXg X3

数IIの式と証明「恒等式」の問題です。 (3)なのですが、自分の解いたもののどこが間違っているか分からないため、これも含めて解説をお願いしたいです。 (dは抜けていますが、)

2x2+7x-15 229 次の等式がxについての恒等式となるように、 定数 α, b, c, dの値を定めよ。 (1) (a+b-3)x²+ (2a-b)x+3b-c=0 *(2) 4x²-3x+2=a(x+1)^+6 (x+1)+c (3) x+1=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d *(4) (3x+1)(x2+ax+b)=cx3+dx²-1 と証明

東工大1999年度大問2より。 僕の解き方でうまくいかないのはなぜですか？

39 1999年度 〔2〕 斜辺の長さが1である正n角錐を考える。つまり,底面を正n角形 AiA2… A 頂点を0と表せば 0A1=0A2==0A=1である。 そのような正n角 錐のなかで最大の体積をもつものを Cm とする。 (1) Cm の体積 V" を求めよ。 (2) lim V を求めよ。 Level A

244. この問題において、Dを求めることって必要ですか？ 実際この問題はDを求めずとも答えに辿り着けるし、 他の教材等で同様の問題の解答を見たときDについて調べていなかったのですが、必要なのでしょうか？？

372 基本例題 244 面積の最大最小 (1) 点 (1, 2) を通る直線と放物線y=x² で囲まれる図形の面積をSとする。 S AA ARŠNODUR 小値を求めよ。 指針 点 (1,2) を通る直線の方程式は,その傾きを m とすると,y=m(x-1)+2と表され まず, この直線と放物線が異なる2点で交わるとき, 交点のx座標α, BでSを表す。 このとき, 公式f(x-a)(x-3)dx=-12 (B-α) が利用できる。 更に,S を m の関数で表し,mの2次関数の最小値の問題に帰着させる。 解答 点 (1, 2) を通る傾きmの直線の方程式は y=m(x-1)+2 ...... ① と表される。 直線 ① と放物線y=x2 の共有点のx座標は, 方程式 x2=m(x-1)+2 すなわち x2-mx+m-2=0 の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると D=(-m)²-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)2+4 常に D>0 であるから, 直線 ① と放物線y=x2 は常に異なる 2点で交わる。 その2つの交点のx座標をα, β(α<β) とすると s=${m(x-1)+2-x*}dx=- = -√²₂(x²-₁ T 2-mx+m-2)dx =-f(x-a)(x-B)dx=1/12(B-α) また B-α= m+√√D m-√√√D -=√D=√(m-2)² +4 2 2 したがって, 正の数β-α は, m=2のとき最小で,このとき (B-α)も最小であり,Sの最小値は 1/12 (14)-1/30 adst 7-8-9 adot x2-mx+m-2=0の2つの解をα, β とすると よって ゆえに (B-a)²=(a+β)²-4aβ=m²-4(m-2)=(m−2)²+4 3₁ 点 (1,2)を通りに な直線と放物線y=x^ まれる図形はない。 よって x軸に垂直な直線は考えな てよい。 X=- 検討 β-αに解と係数の関係を利用 S=1/12 (B-4)において, (B-α)の計算は 解と係数の関係を使ってもよい。 a+β=m,aβ=m-2 (1,2) α, βは2次方程式 x²-mx+m-2-00 TS, mt√m²-4m+! 2 S=— (B—a)³= ¹ {(B—a)³²}* = = = {(m−2)² + 4) ³ ≥ — • 4³-4 6 m²-4m+8=D XD-M300 TIROMA

242.2 厳密には RC:AC=1:√3、∠ACR=90°より∠ORA=π/3... ということですよね？？ また、記述はこれでも問題をないですか？（写真2枚目）

370 00000 基本例題 242 放物線と円が囲む面積 放物線L:y=xと点尺(0.2/24) を中心とする円Cが異なる2点で接するとき (1) 2つの接点の座標を求めよ。 CASATREON (2) 2つの接点を両端とする円Cの短い方の弧とLとで囲まれる図形の面積S [類 西南学院大]基本 237 を求めよ。 指針▷ (1) 円と放物線が接する条件をp.156 重要例題102 では 接点重解で考えたが, ここでは微分法を利用して,次のように考えてみよう。 LとCが 点Pで接する点Pで接線l を共有するRPl (2)円が関係してくる図形の面積を求める問題では,扇形の面積を利用することを考え するとるとよい。 半径が,中心角が0(ラジアン)の扇形の面積は 12/20 b÷d 解答 (1)y=x2 から y'=2x LとCの接点Pのx座標をt (t=0) とし, この点での共通 の接線をl とすると, lの傾きは 2t √3 2 5 1²- 点と点P(t, t2) を通る直線の傾きは 4t2-5_ RP⊥l から 2t - -=-1 ゆえに t= 4t PROTECC = 4 4t²-5 4t t-0 よって t=± (2) 右図のように, 接点A,Bと点Cを定めると, RC:AC=1:√3 から ∠ORA=- =, RA=2.( Lと直線AB で囲まれた部分の面積をSとすると S=S+ △RBA- (扇形 RBA) ーπー ・12. /3 --√²/(x+√3)(x-√3) dx + √3-5 ゆえに、接点の座標は (2) (-4) y Ly=x) / 3 4 2 =1 π =-(-1) { ¹3³-(-√3)² + √¹3³__3√3_7B_S 4 3 O y B R fp 0 0 A

(2)から解説お願いします よろしくお願いします🙏

3. グラフの対称性を用いた定積分について考察する。 次の問いに 答えよ。 ただし, aは定数とする。 考察 定積分Sxdx= ア であり、 である。n=0,1 のとき,定積分 定積分x2n+1dx が 0 または正の整数のときに成り立つ。 (1) (2) (4 選び番号で答えよ。 a (1) -S² x²ndx 25 x 2ndx 1. をつめよ。 I 定積分xdx ウ x2mdx = I である。このことは,一般にn に入る最も適切なものを下の①~⑧より ②25 xindx 3 250x 1 2 イ であり - xendx 6 -1 7 0 ⑧8 a. (3) 考察を用いて、定積分 (3x+x+3)dx を求めよ。た だし、考察の内容を用いたことが判断できない答案は不十分と する｡