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14 法線と曲率/曲がり具合
ry平面上の曲線 C: y=eについて,次の問いに答えよ.
(1)点(a, ea) における Cの接線の方程式を求めよ. また, 点 (a, ea) におけるCの法線の
方程式を求めよ.
(2) a1 とする. 点 (1, e)におけるCの法線と,点(α, ea) におけるCの法線との交点
のx座標をαの式で表せ。
(3) (2)で求めたαの式をん(α) とするとき, limh (α) を求めよ.
a-1
(京都産大・理系)
法線の方程式 傾きm, m' (m=0, m'≠0) 2直線が直交する条件は,mm'=-1である.
曲線y=f(x)上の点 (t, f (t)) における法線は,傾き1(t,f(t))を通る直線だから
f'(t)
1 (x-t)+f(t) (ただしf' (t) ≠0のとき. f'(t)=0のときは, 法線はx=t)
y=- f'(t)
分母を払った形 「f'(t) {y-f(t)}=-(x-t)A」 は, f (t) =0のときも通用する.
なお,曲率については,右下の研究を見よ.
解答
(1) y=eのとき, y' = e であるから, A (a, ea) における接線は,
..
y=e(x-a)+e
y=ex-(a-1)e
1
法線は,y=--
(x-a)+ea
1
..
ea
lay=- -x+e+.
a
ea
⑪1
(2) ①でα=1として, y=--
1
1
x+e+
e
e
ea
③②を連立させ」を消去して(-1/2)x=(a+1)-(+)
ea
e
ea
両辺を倍して, (eq-1-1)x=ea+1+ea-1-24-a
(e e²
.. x=
ea+1+ea-1-e2a-a
ea-1-1
(3) f(a)=ea+1+ea-1-eza-a,g (a) =e-1-1とおくと,
ea
f'(a)=ea+1+ea=1_2e2a-1,g (a)=e-1, f (1) = 0, g(1) = 0 であるから
f(a)-f(1)
a-1
②
■研究 との交点R は ②上
あるから, α→1としたとき, ③
5.(20+1)に近づく
この点を R1 とする.
曲線 C上の点P (1, e)の近
に2点 Q Q' をとって3点P,
Qを通る円を考える. この
Q→P, Q'→P としたときの
状態の円を, 「点P における c
曲率円」 という.
上で求めた R はこの曲率
中心である .
曲線上の点Pの付近を円
似したものが曲率円なので,
YC: y=ex
円の半径が小さいほど曲が
合がきつい.
h(a)=
f(a)
g(a) g(a)-g (1)
a-1
f'(1)
-e²
e²
③
a-1 g'(1)
1
微分係数の定義を活用、
h(a)
a O
X
14 演習題(解答は p.62)
平面において,曲線 C: y=logx上に2点A(a, loga) とB(a+h, log (a+h))
(h=0)をとる。点AにおけるCの法線と点BにおけるCの法線の交点をD(α,B) と
