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重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
00000
| 多項式 f(x) はすべての実数xについてf(x+1)-f(x) = 2x を満たし,f(0)=1
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
[一橋大〕
基本15
例えば, f(x) が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x)が何次式か不明である。
→f(x)は n次式であるとして,f(x)=ax+bx+... a=0, n≧1) とおいて
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較するこ
とで次数nと係数 αを求める。
なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
TRAHD
f(x)=1 | この場合は, (*)に含ま
れないため、別に考えて
いる。
f(x)=c(cは定数) とすると, f (0)=1から
解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから,不適。
よって, f(x)=ax+bx-1+...... (a≠0, n≧1)(*) とす
ると
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)"+6(x+1)"'+......-(ax”+bx-1+)
=anx"-1+g(x)
ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最
高次の項を比較して
......
· D, an=2 ・②
(x+1)x1
=x"+nCix”-1+nCzxn-2+・・・
のうち,
a(x+1)"-ax” の最高次
の項は anx"-1で残り
この頃はn-2次以下とな
ある。
P) 3
n-1=1
①から
n=2
ゆえに,②から
a=1
anx-1と2xの次数と
係数を比較。
このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0) 1から c=1
=2x+6+1
また f(x+1)-f(x)=(x+1)^+b(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが,
結果は同じ
よって
2x+b+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
6+1= 0
係数比較法。
すなわち
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1
