例題 13 3点 A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, -2)の定める平面 ABC に,
原点0から垂線 OH を下ろす。 このとき, 点Hの座標と線分 OH の
長さを求めよ。
Hが3点A, B, Cの定める平面 ABC上にある一→ AH=sAB+tAC (s, tは実数)
OH=(1-s-t)OA+sOB+tOC
ここで, OHIAB, OHIAC から s, tの値を求める。
Hは平面 ABC 上にあるから, AH=sAB+tAC となる実数 s, tがある。
OH=OA+AH=OA+s(OB-OA)+t(OC-OA)
=(1-s-t)OA+sOB+tOC
=(2-2s-2t, S, -2t)
OHI(平面 ABC) であるから, OH は AB とAC の両方に垂直である。
AB=(-2, 1, 0), AC=(-2, 0, -2)
指針
とおけるから
解答
よって
の
ここで
OHLAB より,OH·AB=0 であるから
-2(2-2s-2t)+s=0
ゆえに
5s+4t-4=0
2
OHIAC より, OH·AC=0 であるから -2(2-2s-2t)+4t=0
ゆえに
s+2t-1=0
3
2
2, 3を解いて
1
t
6
Sミ
%D
3
1
2
よって,Oから
OH-
3
3'
1
2
ゆえに, Hの座標は(る-)圏
3
3'
V6
3
2
2
2
2
また
1
OH=,
三
3
3
