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基本 例題 74 座標を利用した証明 (1)
△ABCの重心をGとする。 このとき,等式
123
00000
'AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC2) が成り立つことを証明せよ。
△ABCにおいて,辺BC を 1:2に内分する点をDとする。このとき,等
式2AB2+AC2=3AD2+6BD2 が成り立つことを証明せよ。
基本73 基本 87\
指針
座標軸をどこにとるか
座標を利用すると、図形の性質が簡単に証明できる場合がある。 そのとき
与えられた図形を座標を用いてどう表すか
解答
がポイントになる。 そこで後の計算がらくになるようにするため,問題の点がなるべ
く多く座標軸上にくるように0が多くなるようにとる。
・★
(1)はA(3a,3b), B(-c, 0),C(c, 0) とすると,重心の性質からG(a, b)
(2)はA(a,b), B(-c, 0),C(2c, 0)
CHART
座標の工夫 1 0 を多く 22 対称に点をとる
3章 2直線上の点、平面上の点
★ の方針。
0が多くなるように座標
(1)直BC をx軸に,辺BC の垂直二等分線をy軸にと指針」
ると, 線分 BC の中点は原点Oになる。 A (3a,36),
B(-c, 0),C(c, 0) とすると, Gは重心であるから
G(a, b) と表される。
よって
AB2+BC2+CA2
して
=(-c-3a)'+962+4c2+(3a-c)'+962M中
=3(6α²+662+2c2)
GA2+ GB2+GC2
①
(1)
+M (0
=(3a-a)2+(3b-b)+(-c-a)+62+(c-a)+62
=6a2+662+2c2
......
(2) ((S-)+(1−)+►
①,② から AB2 + BC2+ CA2=3(GA2+GB2+GC2)
(2) 直線 BC をx軸に, 点D を通り直線BCに垂直な直
線をy軸にとると, 点Dは原点になり,A(a, b),
B(-c, 0), C(2c, 0) と表すことができる。
軸を設定するだけでなく,
A (3a, 3b) とすること
で、重心Gの座標を分
数を使わずに表せる。
B
YA
A(3a, 3b)
(G (a,b)
(-c,0) (0) x
30+ C = 2C
よって 2AB2 + AC2
=2{(-c-a)'+(-b)2}+(2c-a)'+(-b)2
=2(c2+2ca+α²+62)+4c2-4ca+a+b2
(2)
ya
A(a, b)
=3a2+362+6c2
①
3AD2+6BD2=3(a2+62) +6c2
......
②
B12-
(-c, 0) OD
C
(2c, 0) x
①,② から 2AB2+AC2=3AD2+6BD2
RJC (-) (8)8 DAI
(1) 長方形 ABCD と同じ平面上の任意の点をPとする。 このとき,等式
PA2+PC2=PB'+PD2 が成り立つことを証明せよ。(--) (C)
(2) △ABCにおいて,辺BC を1:3に内分する点をDとする。このとき、等式
3AB2+AC2=4AD2+12BD2 が成り立つことを証明せよ。
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