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1 接線の方程式 199
Think
例題 91
平均値の定理の利用(2)
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45
sinx
極限値 lim
x-0 x-sin x
を求めよ.
考え方 平均値の定理
f(b)-f(a)
b-a
-=f'(c), a<c<bA を利用できないかを考える.
(証明となり、
x−sinx
b-a
となる.
ここでは,f(x)=e",a=sinx, b=x とおくと, f(a)=esinx, f(b)=e*
ex-esinx f(b)-f(a)
つまり、与えられた式はAの形になる.
このときのとり得る値の範囲はx>0x0 で場合分けが必要である。
このように平均値の定理を利用するには,f(x) をどのような関数とおくか a b をど
このような値とするかを考えるとよい。
大きさの関係が分からない
で
解答 f(x)=e* とおくと、
f(x) は実数全体で連続で,微分可能である.
sin x
✓グラフエ
70として,平均値の定理を用いると,
e-esinx
x−sinx
=f'(c))f(b)(a)
を満たすが、x>0のとき、
第4章
O x x
y=sinx
x< 0 のとき, x<c<sinx
存在する.
f'(x)=e* より,
f'(c)=e
ex-esin x
したがって
-=e²
はさみうち
x−sinx
x→0 のとき, sinx→0
sinx<<
↓
であるから, ①,②より, c0
sinx-0005 026 000 JJ
0 0 0
x<c<sinx
e-esinx
*0x-sin x C→ O
ちなよって,上 lim ==lime²=e=1 4
」と呼ばれている。
となるため, x>0 と
x0 をまとめて考えてい
る.
より、一般化したものとして、「コージ6
Focus
(
平均値の定理の利用
関数f(x) をどうおくか, a, b をどのような値にするか考える
注〉例題 91 では, x>0 と x<0 のときでxと sinxの大小関係が変わっているが
x→0のとき, sinx→0であるため解のようにまとめて考えた.mi-(2)
このようなときは,次のような表現でもよい.
「平均値の定理を用いると
0=(0)\
01030 Jcb
を満た
e-esin x
-=f'(c)
x-sin x
を満たすc が x と sinx の間に存在する」
練習
極限値 lim
91
***
x 0
M
www
tanx-tanx2
を求めよ.
x-x
