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数列と極限の応用,対数関数の応用
1-1. 3項間の漸化式とその応用
1-1-1. 白銀比
白銀比は,古くから日本建築などで多く使われてきた比である。。 またA判, B判の用紙の2辺の長さの比も自銀比である。
例題1 例えば, A3 版の用紙の長辺を半分に折ると A4版になる。
A3版の2辺の長さの比は, A4版のそれと等しく, 相似である。
一般的に, n20において, An版の用紙の長辺を半分に折ると An+1 版になる。
An版の2辺の長さの比は, An+1版のそれと等しく, 相似である。
A0版の用紙の面積は1㎡である。
このとき, An版の用紙の長辺の長さをanmm, 短辺の長さをan+1 (mm)と定義できる。
(1) a,の一般項を求めなさい。
hs
解容
An版の用紙の長辺を半分に折ると An+1 版になるので
an
an+z =
|Al
2
…の
w
An版の2辺の長さの比は, An+1 版のそれと等しいので,
an:0n+1 = an+1:On+2
03
Qn
の
0のより
O On-(20nc)
As =
03
Aats =
an
+1
Oル
イ入して、
20 Anre
2-0:Ontl
Om: 0ne
[am
2
2
2
= bとおくと
Anel:
2
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数列と極限の応用, 対数関数の応用
br
bn+1
等比数列の公式より
baibl4)
an= aur"!
Aの0乗は1
b, = bo()
よって
A0版
an = ao
a0.| Im?
= ag
A0版の用紙の大きさが1㎡なので,
aga = 1000× 1000 =D 106
1
aga = aga,ー= 100
= 10%2) 10°同
o = 1032
以上より
Cn = 10002
(n20)
補足
V2 = 1.414, V2 = 1.189 とすると,
10002
= 297
4
a4 = 1000V2
1000VZE
= 210
5
as = 1000VZ(
8
1 る-レがわかる
