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例題17
漸化式と極限 (3)
(
a=1, an+1=√2a+3 (n=1,2, 3,) ......)
で定義される数列{an} について,次の問いに答えよ.
(1) 数列{an}が極限値 αをもつとき,α の値を求めよ.
(2)(1)のαについて, la,-allan-α を示せ .na
(3) lima=α であることを示せ .
[考え方]
TAN
解答
11-0
P
(1) lima=α のとき, liman+1=α であるから,
1140
1148
これを与えられた漸化式に代入して考える.
求めた αが条件に合うか確認が必要
(2) (1)で求めたα を代入し,漸化式を用いて不等式の
左辺を変形する.
LAM
(3) 実際に lima" を求める. はさみうちの原理を利用する。
21-0
赤客室 ぜったい④
(1) lima=α とすると
漸化式 an+1=√2a+3より
両辺を2乗して,
03/
**$²9
+1
はさみうち使う時
左辺が正って
=
An
16 S
α=-1 は ①を満たさないから,
(2), lax+1-31 = √/2a₂+3 -31-01-20 +3-=-3
M/(2a+3)-91
1
√2an+3 +3
②. lim2(12/3)
12・
n1 → ∞
liman=liman+1=α なので、
1200
12 534
a = √2a+3
①
11 → 00
α²=2a+3 より,
lim|a-3|=0
√2an
a=3
-12an -61
......
a=-1,
2
√2an+3+3
-lan-31≤an-31
3
ここなくす
いいたいために
絶対値記よって、lamm-31 / 3 14.31 は成り立つ。
F.DE
(3) (2)より10-31≦0/2/31lan-1-31
×
ここで、a=1 より 0a-312 (23) 2
An-1
2\n-1
n-1
(²) Ian-2-31 ≤...(3) |a₁-31
ai
Coll=
= 0 とはさみうちの原理より,
****
YA
y=x/
J
O a2a3
i=1
もどき
120m+3+3
120+3分子の有理化
11 →∞
よって, lima =3 となり、題意は成り立つ
22100
$=0
お二期間
y=√2x+3
無理方程式
(p.98参照)
x
a²-2a-3=0
(a+1)(α-3)=0
α=-1, 3 が ① を満
たすか確認する.
第1章
特性方程式
みたいにauthous
をdとかおいて、
√2a+3≧0より,
√2an+3+3≥3
√2an+3+3
101. 1
3
1200)
(2)をくり返し用いる.
|a-3|=|1-3|
=|-2|=2
