(交わる
囲を求めよ。
p.134 応用例題 7
例題
放物線と軸の共有点の関係
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2次関数y=x2-2mx+m+2のグラフとx軸のx>1の部分が,
異なる2点で交わるとき,定数mの値の範囲を求めよ。
考え方 f(x)=ax2+bx+c, D=62-4ac とする。a>0のとき, 放物線y=f(x)とx
軸との共有点のx座標をα, β(α<B) とすると,α,βと数々の大小関係につ
いて
①
① α,Bがともにんより大⇔D>0, 軸の位置>k, f (k)>0
(2)
α, βがともにんより小⇔D>0,軸の位置 <k, f(k)>0
③kはαとβ の間
⇔f(k)<0
(3)
+
a
軸β
a 軸 B
+
k
x
k
k x
B x
解答 f(x)=x²-2x+m+2とするとf(x)=(x-m)²-m²+m+2
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線 x=mである。
この放物線とx軸のx>1の部分が,異なる2点で交わるのは,次の [1], [2],
[3]が同時に成り立つときである。
[1] グラフと x 軸が異なる2点で交わる。
2次方程式f(x)=0の判別式をDとすると
D=(-2m)2-4(m+2)=4(m²-m-2)
D>0から m<-1,2<m
*****
①
[2] 軸x=mについて
m>1
*****
[3] f(1) > 0
すなわち
12-2m・1+m+2> 0
よって 3-m>0
したがって m<3
******
③
3-m
m
x
① ② ③ の共通範囲を求めて
2<m<3
】3つの条件のうち [1], [2], [3] のそれぞれがない場合, グラフとx軸の
共有点の位置についてどのような場合が考えられるだろうか。
