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例題 28
重要
に分けて和を求める
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一般項がαn=(-1)"+1n2 で与えられる数列{an} に対して,Sn=ak とする。
(1) a2k-1+a2k (k=1, 2, 3, ......) を ん を用いて表せ。
(2) Sn= (n= 1, 2, 3, ......) と表される。
k=1
次のように頭を2つずつ区切ってみると
Sn=(12-2)+(32-4)+(52-62)+......
=b₁ =b₂
指針 (2) 数列{an}の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。」
=b3
******
上のように数列{6} を定めると, bk=a2k-1+αk (kは自然数) である。 よってm
を自然数とすると
[1] n が偶数, すなわち n=2mのときはS2m2=(-1)として求め
られる。
k=1
k=1
1
[2]nが奇数、すなわちn=2m-1のときは,Sam = Sim-1+α2m より
S2m12m-a2mであるから, [1] の結果を利用して Szm-1 が求められる。
このように, nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。
(1) 2-1+a2x=(-1)2k(2k-1)^+(-1)2k+1(2k)2
=(2k-1)-(2k)=1-4k
[1]=2mmは自然数)のとき
m
m
S2m=(a2k-1+a2k)=(1-4k)
=m-4.
m= =1であるから
Sn
-m(m+1)=-2m²-m
=-2(2)-=-n(n+1)
[2]=2-1(mは自然数) のとき
2m+1.
azm=(-1)2 '(2m)'=-4m² であるから
S2m-1=S2m-a2m=-2m²-m+4m²=2m²-m
n+1
m=- であるから
2
S,=2(n+1)_n+1=1/2(n+1){(n+1)-1}
= n(n+1)
[1],[2] から
Sn=(-1)+1
2
-n(n+1)
(*)
(-1) =1, (-1)=-1
={(2k-1)+2k}
×{(2k-1)-2k}
S2m= (a1+a2)
+(as+αs) +......
+(a2m-1+a2m)
Sm=-2m²-mに
2=1/27 を代入して,n
m=
の式に直す。
<S2m=S2m-1+a2m
を利用する。
S2m-1=2m²-mをnの
式に直す。
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(*) [1], [2] のS” の式は
符号が異なるだけだから,
(*)のようにまとめるこ
とができる。
一般項がαn=(-1)n(n+2) で与えられる数列{an} に対して, 初項から第n項ま
での和 S を求めよ。
1
章
③種々の数列
