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(注3) 相関分析と同様に回帰分析の場合も信頼区間を求めることができま
す。まずyの推測値の信頼区間は次のようになります。 この信頼区間は母集
団のy推測値の100(1-α) % が含まれる範囲を表し、信頼限界と呼ぶことが多
いようです。
y=a+b=(my-bmx)+bx = my+b(z-mz)→(j-my)=b(x-mz)
VR VR
V(j-my) = V(j)+V(my)-2C(j,my) = V(g) + -2 = V(y) -
VR
=V
n
n
n
=V(b(z-mx))=(x-m²) 2V(b)=(x-m²) 2VR
S エエ
(x - ₂)²
2V (6) - Vx{1+ (².²}
=VR
n
S
x=X0の時のy推測値の100(1-α)% 信頼限界:
U
Dol=a+bro ±t(n-2,a) VR
-2,0)√| V₁ { 1/2 + ( 2 = m₂) ² }
n
S エ
mx:xの標本平均 Sxx:xの平方和
VR : 残差分散
VR
C(jj,my) = y推定値とmyの共分散
t(n-2, α): 自由度(n-2)のt
n
分布における100α%点
この100(1-α)% 信頼限界において、x=mxの時の値を計算すると次のように
なります。
VR
ŷOL =a+bm±t(n-2,0) VR・
-2,0) √/ VR { 1 1 1
+
(m₂ - m₂)²
S エエ
2²}. =my±t(n-2,a)V
n
n
これは値と残差分散が少し異なるだけで、 平均値の信頼限界(信頼区間) とほ
ぼ同じ式であることがわかると思います。 つまり回帰直線は平均値を2次元
に拡張したものに相当し、 y推測値の信頼限界は平均値の信頼限界を2次元に
拡張したものに相当することになります。
次にyの信頼限界を求めてみましょう。 もしaとbに誤差がない、つまりy推
測値に誤差がないとすると次のようになります。 これが許容限界になりま
す。
V(g) = V(g+c)=V(e) =VR
x=x0の時のyの100(1-α) % 許容限界: gol =a+bro ±t(n-2,a)VVR
you
x=mxの時: gol = my±t(n-2,a) VVR
しかし実際にはaとbには誤差があるので次のようになります。 これが棄却
限界です。 回帰分析の場合は棄却限界のことを予測限界 (prediction limit)と
呼びます。
(x-²))
S エ
n
n
SII
V(g+c)=V(g)+V(c) +2C(j,c)=VR
/R { 1 + (*² =− m ₂) ² } + V₁ + 0 = VR { 1 + 1 2 + ( x − m ₂ )² ]}
x=X0の時のyの100(1-α) % 予測限界:
1
(x-m₂)²
yoz=a+bro ±t(n-2.0)/VR
=t(n-2,α) √
-2,0) √/V₁ { 1 + 1 +
n
S エ
U
x=mxの時: yol = my ±t(n-2,a)
2, a) √/ VR (1+1)
VR
(1+
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