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第2章 極限
三角関数と極限
1 関数の極限と大小関係
limf(x) =α, limg(x) =β とする。
xa
pix
1
xがαに近いとき,常に f(x) ≦g(x)ならば a≦β
2xがαに近いとき,常に f(x) (x)g(x) かつα=β ならば limh(x)=a
注意 上の事柄は,x→∞, x→∞の場合にも成り立つ。
■ 次の極限を求めよ。 [104, 105]
1-cos 3x
□ 104(1) lim
x→0
x2
1
*105(1) limxcos
0+x
x
第2節 関数の極限
31 0
(2) lim
sinx2
x01−cosx
(2) lim
1+sinx
XII∞
x
第2章
極限
注意2を「はさみうちの原理」 ということがある。
例題
3 limf(x)=∞ のとき,十分大きいxで常に f(x)≦g(x) ならば limg(x) =∞
|2 三角関数と極限
sinx
lim
x0 x
x
=1, lim -1 (角の単位はラジアン)
x-0 sinx
STEPA
中心が 0, 直径 ABが4の半円の弧の中点をMとし, Aから出た光線
が弧 MB 上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとする。
(1) 0=∠PAB とするとき, OQ の長さを0で表せ。
(2) PBに限りなく近づくとき, Qはどんな点に近づいていくか。
|指針 Aから出た光線か MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとき
∠OPA = ∠OPQ
sin O
求めるものを式で表し、
などの極限に帰着させる。
解答 (1) 右の図において
✓ 99 次の極限を調べよ。
ZOQ= ∠OPA=∠OAP=0
∠PQB= ∠PAQ+ ∠APQ=30
M
2
(1) lim cos-
*(2) lim
(3)lim
x
tanx
x–0 sinx
よって ∠OQP=30
△OPQに正弦定理を用いると,P=2 であるから
30
0 Q B
■次の極限を求めよ。 [ 100~103]
✓ 100 (1) lim
x→0
sin 4x
XC
sin2x
*(2) lim
x-0 sin5x
(3) lim
x-0 tant
sin3x
tan2x-sinx
□ 101 (1) lim-
*(2) lim
x→0
x
1-cos 2x
x-0 xsinx
(3) lim
x→0
sin3x+sinx
sin2x
□ 102(1) lim
COS X
x-Sin2x
(2) lim-
sin2x
(3) lim
x01−cosx
103*(1) lim
tan x
X10 x
*(4) lim-
sinлx
x-1 x-1
1−cosx
t- sinx
STEPB
*(2) lim
X→π
OQ
2
sin O sin(-30)
また, sin (π-30)=sin30 であるから
2sin
OQ=
sin 30
(2)PがBに限りなく近づくとき, 0 +0 である。 このとき
2 sin
2 sin
3 2
lim OQ= lim
lim
8+0
o sin 30
0-40 3 0 sin 36 3
よって,Qは線分 OB上の0からの距離にある点に近づいていく。圏
□ 106 半径αの円周上に動点Pと定点Aがある。 Aにおける接線上に
AQ=AP であるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがA
PQ
に限りなく近づくとき,
AP
の極限値を求めよ。 ただし,Pは ∠AOP
(0<< AOP < 1)に対する弧AP の長さを表す。
sin(x-7)
x-π
(3) lim x-- tanx
xn
ax+b
1
sin(sinx)
(5) lim
x→0 sinx
1
107 等式 lim
(6) limxsin
COS x
2x
が成り立つように, 定数a, b の値を定めよ。
