すなわち,イ)行列の第j列の各成分が二つの数の和 ais+a%(i=1,2,…, m)
であれば,その行列式は, 第j列の各成分をそれぞれ aig, at; で置換えた二っ
の行列の行列式の和に等しい. また, ロ)行列 Aの第j列だけを c 倍した行列
ロ) det(a,, …, caj,
の行列式は c|A| に等しい。
証明は定義から明らかである。
これを,行列式の, 列に関する n 重線型性 (一般には多重線型性)と言う、
定理 [2.1] により, 行に関しても同じことが言える。
定理 [2.3] n 文字の置換 r に対し,
det (a.(), C-c2), …, a-cn)) = Sgn r.det (a1, a2, …, a,).
列式は sgnr·|A| に等しい。
この性質を,行列式の, 列あるいは行に関する交代性と言う。
すなわち,行列 A の列あるいは行の番号に置換rを施して得られる行列の行
証明:
det (a.(1), a-(2), …, a-cn))
=2sgn o.a. ro(1) a2, ra(2)
an, to (n)
oESn
=sgnr> sgn to·Q,.ro(1) @2, ro(2) …
an, to (n).
aESn
のが Sn を動くとき, to も Sn を動くから,
= sgn r 2 sgn oU1o(1)Q20(2)
gESn
ano(n)
= Sgn rjA|.
証明終。
