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基本 例題 021 有界で単調増加する数列の収束と極限
次の数列が有界で単調増加であることを示し,極限を求めよ。
(2) a1=1, an+1 =
(1) α1=1, An+1=van+2
3an+2
an+1
指針 単調で有界な数列は収束することを使う。
単調に増加することを示すには, an+1>a であることを示せばよい。
(1)(2)とも数学的帰納法で示される。
3an+2
(2).
を+
(pg は定数)の形に変形する。
an+1
an+1
基本0
次に (1)(2)とも,上に有界であること, すなわち an≦α を示すのであるが,(2)は上記の
変形から an<3がわかる。 (1) は an≧1 と α=√a+2 の解から an<2と予測する。そしてす。
ての自然数nについて an<2であることを,数学的帰納法で示す。
CHARTの問題 数学的帰納法が有効
証明しにくい問題 結論からお迎えする
解答 (1) 数列{an} が単調に増加することを示す。
[1] n=1のとき a2= √3 >1=α であるから成り立つ。
[2] n=kのとき, ak+1 ak であると仮定すると
ak+2= √ak+1+2> √ak+2=ak+1
数学的帰納法。
仮定 ak+1 > から。
よって、すべての自然数nについて an+1>an であるから,
数列 {az} は単調増加列である。
次に,数列{az}が上に有界であること, すなわちすべて
の自然数nについて <2であることを示す。
[1] n=1のとき α = 1 <2であるから成り立つ。
[2] n=kのとき, ak<2であると仮定すると
ak+1=√ak+2<√2+2=2
よって, n=k+1のときも成り立つ。
したがって, すべての自然数nについて, an <2である。
更に, α =1であるから, 1≦an<2となり, 数列{an} は
有界である。
ゆえに,数列{az}は,有界な単調増加列であるから収束
する。
「極限値をαとすると, a≧1 で
①の両辺を2乗して整理すると
これを解くと α=-1,2
α=√α+2
「an<2 の 「2」は、下の
①の解から予測した。
数学的帰納法。
仮定 k <2から。
①
1≦an から。
a²-a-2=0
αであるから, α=2 (① を満たす。)
よって、 数列 {an}の極限値は 2
数列{a} の上限 。
