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基本 例題49 2次方程式の実数解の符号
|2次方程式x-(aー10)x+a+14=0が次のような解をもつように,
0<a+ 5
(2)異符号の解
p.81 基本事項D)
の範囲を定めよ。
(1) 異なる2つの正の解
指針> 与えられた方程式の解を α, Bとして, 次の同値関係を利用する。
異なる2つの正の解→ D>0かつα+B>0かつ aB>0]
異なる2つの負の解→ D>0かつ a+B<0かつ aB>0
の太
→%<0)+(ー o n
異符号の解
解答
2次方程式x-(a-10)x+a+14=0の2つの解を α, Bとし,
判別式をDとする。
ここで
(1),(2)ともに,数学Iで学習
した2次関数のグラフを利用
して考えることができる。下
<の検討参照。 で
D={-(a-10)}-4(a+14)=α°-24a+44
=(a-2)(a-22)
+8=a-10, aB=a+14
(1) αキ8, α>0, B>0であるための条件は + 0a.0<o
解と係数の関係から
の五 ()
D>0 かつ a+B>0 かつ aB>0
(異なる2つの正の解とある
から,αキ8で D>0
D>0から
(a-2)(a-22)>0
02-3++2=
よって a>10 ( 2)
よって a>-14
ゆえに
a<2, 22<a
α+B>0から a-10>0
aB>0 から a+14>0
3
0, 2, 3 の共通範囲を求めて a>22
(2) α, Bが異符号であるための条件は
aB<0
ゆえに
a+14<0
laB<0なら D>0は常に成
(%3)
の方程式について
よって
a<-14
り立つ。
ささいる
ケ ()e0
検討)グラフの利用
2次関数 f(x)=x?ー(a-10)x+a+14
のグラフを利用すると, α<Bとして
(1) D=(a-2)(a-22)>0,
<小太の 実 の左さ
トげ(x)|
a-10
2
f(x)+
軸について x=
2
f(0)=a+14>0
(2)f(0)=a+14<0
a-10
B
x
