不等式の証明 [2008福島県医大 ]
x3
x--
すべての20について 2012 sinxx-
6
x5
6
120
が成り立つことを示せ。
不等式の証明.
考え方
f(x)=sinx(x-1) g(x)=x-1+ x5
6
- sinx とおいて
120
微分して増減を調べ、f(x) ≧0,g(x)≧0を示す.
* S(x) = sinx-(x-²) 23
(ー)
とおく。
.2
f'(x) = cos x −1+², ƒ"(x) = −sin x+x, ƒ”” (x)= −cos x +1
x≧0のときf''(x) ≧0であるから, f'(x) は単調に増加する。
このことと,f"(0)=0 であることから
x≧0のとき f'(x) ≧0
よってx≧0のとき f'(x) は単調に増加する。
このことと,f'(0)=0であることから
x≧0のとき f'(x) ≧0
よって, x≧0のとき f(x) は単調に増加する。
このことと, f(0)=0 であることから
x≧0のとき f(x) ≧0
すなわち
x≧0のときx- ≤sin x
x3
g(x) = x -- +
sinx とおく。
6 120
2
x² x
g'(x)=1-- + - COS X,
2
24
g'(x)=-x+
+ sin x
*≧0のとき, ① より
g"(x) ≥0
よって、x≧0のときg'(x) は単調に増加する。
このことと,g'(0)=0であることから
x≧0のときg'(x) ≧0
よって、20のとg(x) は単調に増加する。
このことと,g(0)=0 であることから
x≧0のとき g(x)≧0
-70-
3
6
+
ロ
