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6 対数不等式
(ア) 不等式10g2 (-x) 1-log/ (2x+11) を解け.
(イ)
logzy+2logyz≦3を満たす点(x,y) の存在する領域を図示せよ。
対数方程式と同様
対数の数の大小
logap<logag
が成り立つ指数のときと同様に, 0<a<1のとき,
不等号の向きが逆転することに注意しよう.
方程式と同様の方針で扱う.
2つの正の数, q について,
jp < g (a >1のとき)
[p>g (0<a<1のとき
■解答量
(ア) 真数条件から, 5-x> 0, 2x+11>0
log1 (2x+11)=-
4
log2 (-)
log2 (2x+11) log₂ (2x+11)
2
082 (12)
log2
..
logy=t とおくと, logy =
YA
:.
11
-<x<5
2
01.
1+1/log2 (2x+11)
+12/22082(
log2 (5-x)²≤log₂ 22 (2x+11)
²-18x-19≤0
これと①により、-1≦x<5
(イ)底の条件と真数条件により, x>0,x≠1,y>0,y≠1
log
0
(x+1)(x-19)≦0
-<x<5 .···········
y=logax
1
により, 与えられた不等式は
.. 2log₂ (5-x) ≤2+log₂ (2x+11)
(5-x)²≤4(2x+11)
(t-1) (t-2)
a>1
: -1≤x≤19
1
であるから,与不等式は,
t
log.xy
≤0
y
x
y=x2
t+ ≤3
t²-3t+2
t
...
≤0
t
1°t>0のとき, (t-1)(t-2) ≧0を解くと, 1≦t≦2
2°t<0のとき, t-1)(-2)≧0を解くと, t<0
よって②のとき, 1≦t≦2 またはt < 0
1≦logxy≦2･････ ③ または logy
<0
ここで, ①にも注意すると, ③ は, ( 注 )
[x>1, x≤y≤x²]
または「0<x<1, rº≦y≦x
と同値であり、④は,
「x> 1,0<y<1」 または 「0<x<1, y>1」
と同値であるから,図示をすると網目部 (境界は実線のみ含む)となる.
注1≦logy≦2log l≦logy≦logxx2
y
0
y=x
(東北学院大・文系)
(信州大教)
① 以下, ① のもとで考える.
y=logar
1
0<a<1
2+log2 (2x+11)
=log222+log2 (2+11)
B
(t-1)(t-2)
0
[ ② は次のように考えると手早く
「解ける] ② の左辺は,分母か分子
を0にする t = 0, 1,2の前後で
符号変化する.t>2のとき, ②
の左辺が正であることに注意す
ると,②≦0 となるのは下図の網
目部のときである.
0
t
1
2
