第2章
集合と命題
113 実数xが正の無理数であるとき, /x は無理数であることを証明せよ。
-逆
q→か
STEPくB
対偶
裏
nは整数とする。 次の命題を証明せよ。
n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である。
例題13
一逆
対偶を証明する。3の倍数でない整数nは, 3k+1, 3k+2(たは整数)のいずれかの
形で表される。
対偶「nが3の倍数でないならば, n° は3の倍数でない」 を証明する。
nが3の倍数でないとき, nはある整数をを用いて3k+1, 3k+2のいずれかで表さ
指針
予盾が導かれることを
解答
れる。
[1] n=3k+1 のとき
n°=(3k+1)°=27k°+27k°+9k+1=3(9k°+9k°+3k)+1
9°+9k°+3k は整数であるから, n°は3の倍数でない。
[2] n=3k+2 のとき
n=(3k+2)°=D27k°+54k°+36k+8=3(9k°+18k。+12k+2)+2
9k°+18k°+12k+2は整数であるから, nは3の倍数でない。
よって, 対偶は真である。 したがって, もとの命題は真である。 終
または x=1」
証明せよ。
せ上
