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234
サクシード数学B
n>0であるから 36-n<0
よって
n>36
これを満たす最小の自然数nは
n=37
ゆえに,初項から第37項までの和が初めて負と
なる。
(2) 数列 {a} の一般項は
an=70+(n-1) (-4)=-4n+74
<0とすると
よって
-4n+74<0
74
n> =18.5
4
これを満たす最小の自然数nは
n=19
ゆえに、数列{a} は第19項以降が負になるから,
初項から第18項までの和が最大となる。
その最大値は
S18=2.18(36-18)=648
別解 ①から
Sn=2n(36-n)=-2(n2-36n)
=-2(n-18)2+2・182=-2(n-18)2+648
よって, Sm は n=18で最大値 648 をとる。
ゆえに、初項から第18項までの和が最大で,そ
の最大値は
648
217
指針
(1)
(2)
+1-a=(一定) となることを示す。
a₁, as, A7,
の添え字 (1,4,7,
･･････) に着目すると,これは,初項 1, 公差 3
の等差数列である。
(1) an+1-an={-5(n+1)+6)-(-5n+6)
=-5
よって, 数列{a} は等差数列である。
001
また,初項は a1=-5・1+6=1, 公差は-5
(2) 数列 {a} の項を,初項から2つおきにとって
できる数列を {bm) とすると
よって
ゆえに
b=a32 (n=1, 2, 3, ......)
b=-5(3n-2)+6=-15n+16
6n+1-6„={-15(n+1)+16)-(-15+16)
000 =-15
したがって, 数列{bm} は等差数列である。
また,初項は b1=a1= 1, 公差は-15
218 {a}:2,5,8,
{6}:6,11,16,
......
とすると
an=2+(n-1)・3=3n-1
6„=6+(n-1)・5=5n+1
a=bm とすると 31-1=5m+1
よって
31=5m+2
①
これを変形すると 3(1+1)=5(m+1)
3と5は互いに素であるから, kを整数として
Z+1=5k, m+1=3k
すなわち1=5k-1, m=3k-1 と表される。
ここで, 1, mは自然数であるから,5k-1≧1
かつ3k-1≧1より kは自然数である。
ゆえに, 1=5k-1 (k=1,2,3,......) とおける。
したがって、数列{an}と数列{bm}に共通に含ま
れる項は、数列{a} の第 (5k-1)項 (k=1, 2,
3, ......) で
3(5k-1)-1=15k-4
=11+(k-1)・15
よって, 初項 11, 公差 15 の等差数列になる。
参考 [①②のように変形する方法]
方法1) ①の右辺を5の倍数にするため、
3,3+5,3+5・2,
を加えてみる。そのうち, 左辺が3の倍数とな
るものを見つける。ここでは,3でよい。
( 方法2 ) 31=5m+2 ①
l=-1,m=-1は ① を満たす整数であり
3.(−1)=5.(-1)+2 ③
① - ③ から 3(1+1)=5(m+1)
.....
方法2は,数学Aの 「数学と人間の活動」で
1次不定方程式を解く際に学ぶ方法である。
219 公比をとし,一般項を α とする。
12=3
(1) r=
よって a=4.3"-1
1 - = 01 = 1 (2)
また
5=160
√5
また α5=4・35-1=324
よって,=16-12-1
5-1
1
==
16
(3)555 よって=25
r=-
25
また
=
a = 25(√5) 5-1 =25.5=
=1
✓5\n-1
参考
an=
1=25/
✓5-1
5
=52.
√5
01=525-27-152-45
12
(4) 7=
3
2
---
-8
-1
