40 逆関数
(s)=var-2-1 (a>02) とするとき、次の問いに答えよ
(1) y=f(x) の逆関数y=f(x) を求めよ.(s) ハー
(2) 曲線 y=f(x) と曲線 C2:y=f-l(xc) が異なる2点で交わる
ようなαの値の範囲を求めよ.
(3) C,C2の交点のx座標の差が2であるとき,αの値を求めよ。
(0>x)
(x)\S
〈逆関数の求め方〉
精講
y=f(x) の逆関数を求めるには,この式を
x=(yの式)と変形し, xとyを入れかえればよい
〈逆関数のもつ性質>
I. もとの関数と逆関数で, 定義域と値域が入れかわる
Ⅱ. もとの関数と逆関数のグラフは、直線 y=x に関して対称になる
逆関数に関する知識としてはこの3つで十分ですが,実際に問題を解くとき
〈逆関数のもつ性質〉を上手に活用することが必要です. この基礎問では,Iが
ポイントになります。
解答
(1)y=√ax-2-1 とおくと, √ax-2=y+1
よって, y+10 より, 値域は y≧-1
ここで,両辺を2乗して
■大切!!
ax-2=(y+1)2
.
a
x = 1/1 (4+1)² + 2/2 (y = −1)
a
よって、f(x)=1/2(x+1)+12/2(x-1)
【定義域と値域は入れ
かわる
a
a
注 「定義域を求めよ」とはかいていないので,「x≧-1」は不要と思う
人もいるかもしれませんが,この値に対してyを決める規則が関数で
ですから、xの範囲, すなわち, 定義域が 「すべての実数」 でない限り
は、そこまで含めて 「関数を求める」 と考えなければなりません .
(2) y=f(x) y=f'(x)のグラフは,凹凸が異なり,かつ, 直線
