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基本例題 43
対偶を利用した命題の証明
文字はすべて実数とする。 対偶を考えて、次の命題を証明せよ。
(1) x+y=2 ならば「x≧1 またはy≦1」
(2) ²+626 ならば 「la +6/>1 または |a-6|>3」
CHART & SOLUTION
対偶の利用
命題の真偽とその対偶の真偽は一致することを利用
(1) x+y=2 を満たすx,yの組(x, y) は無数にあるから、直接証明することは困難であ
る。 そこで,対偶が真であることを証明し,もとの命題も真である, と証明する。
条件 「x≦1またはy≧1」の否定は 「x>1かつy>1」
(2) 対偶が真であることの証明には,次のことを利用するとよい。
A≧0, B≧0 のとき A≦B ならばA'≦B2 (p.118 INFORMATION 参照。)
解答
(1) 与えられた命題の対偶は
「x>1かつy>1」ならば x+y=2
これを証明する。
x>1, y>1 から x+y > 1+1 すなわち x+y >2
よって, x+y=2 であるから, 対偶は真である。
(IN
したがって,もとの命題も真である。
員 (2)与えられた命題の対偶は
「|a+b≦1 かつ |a-6≦3」 ならば d² +626
43
これを証明する。
|a+b|≦1,|a-6≦3から (a+b)²≤1², (a−b)² ≤3²
(a+b)²+(a−b)² ≤1+9
よって
ゆえに
よって
したがって,もとの命題も真である。
2(a²+6²) ≤10
a²+62≦5
ゆえに, 対偶は真である。
p.76 基本事項 6
r=as+2
POINT 条件の否定条件 p, g の否定を,それぞれ , gで表す。
かかつかまたは g
PNQ=PUQ
pまたはg かつ
PUQ=PnQ
⇒αの対偶は
gp
<x>a,y>6 ならば
x+y>a+b
(p.54 不等式の性質)
|A|²=A²
a+b2≦5 56 から
a²+ b² <6
30
79
