すべての実数x に対して, 不等式 x-4a3x+6a2+9≧0 が成り立つように, 定数 αの値
の範囲を定めよ。
(解説)
f(x)=x^-4a3x+6α+9 とすると
f'(x)=4x3-4a3=4(x-a)(x2+ax+α²)
f'(x) = 0 とすると x=a または x2+ax+α²=0
ここで,x2+ax+a2=(x+1/2)2 + 1/120220であ
3
-α2≧0 であり,等号は α = 0 のときに成り立つ。
[1] a=0 のとき
f(x)=x+9>0であるから, 条件を満たす。
[2] 40 のとき
x2+ax+α²>0であるから, f(x) の増減表は右のよう
になる。
x
f'(x)
-
ゆえに, f(x) はx=αで最小となる。
f(x)
よって, すべての実数 x に対して, f(x) ≧0 が成り立つ
ための必要十分条件は
f(a)=a^-4a^+ 6a² + 9≧ 0
整理して a¹-2a2-3≤0
すなわち (a2+1) (a²-3)≦ 0
α+1>0であるから a²-3≤0
よって -√√3≤as√√3 (a=0)
[1], [2] から, 求めるαの値の範囲は
-√3≤a≤√√√3
a
0 +
極小
