255
152 整数問題(II)(1) ser
xについての2次方程式 x²-2x+2m²+m-2=0 の解がす
べて整数となるような整数をすべて求めよ.
精講
因数分解できないので,解の公式を使うことを考えると,
x=m±√D' となります。 このままでは、がついているので,
整数とはいえませんが、最低でも D'≧0 が必要だから,これでm
に範囲がつけば,うまくすれば, しぼり込みに成功します。
解 答
x²-2x+2m²+m-2=0より
x=m±√m²-(2m²+m-2)=m±√√-m²-m+2
根号内は0以上だから,-m²-m+2≧0
∴ (m+2)(m-1)≦0
よって,m=-2, -1, 0, 1
-2≤m≤1
このうち, -m²-m+2が平方数となるのは
(整数)の形にかけ
下の表より,m=-21
数を平方数という
m
-2 -1 201
[x] 04:
712
<2m+2
-m²-m+2 0 2 2 0
利用することに
ポイント
2次方程式が整数解をもつとき, 「判別式 ≧0」に着目
注 実は,上のポイントは万能ではありません。 解答の中の判別式 ≧0 から,
もし,m²-m-2≧0 みたいな不等式がでてくると, m≦-1,2≦m となり,
しぼり込みに失敗してしまいます。(演習問題 152)
