49 ベクト
平面上に △OAB があり, OA=5, OB=8, AB=7 とする。 S, t
284152 のとき、点の存在しうる領域の面積は△OAB の面積の倍で
を実数として、点をOP=OX +OB で定める。 s≧0,120,21
ある。
解答
OP=50A+10B を満たす点Pの存在範囲
1. s+1=1 ならPの軌跡は直線AB
特にs+t=1, s≧0, t≧0 ならPの軌跡は線分AB
2.+t≦1, 20, t≧0 なら △OAB の周および内部
≦t≦1 なら平行四辺形 OACB の周および内部
S -=s'
s+2122 より 12/23t≧1であるから, 12/23s' とおくと
OP=s'(20A) +tOB (s'≧0, t≧0, s'+t≧1)
また, 2st 2 より, s+
t
[類 21 摂南大]
t
+1/21であるから, 1/2=とおくと
OP=sOA+t' (2OB) (s≧0, t'≧0,s+t'≦1)
よって, OA'=20A, OB′'=20B となる点 A', B'
をとり,線分AB と線分AB' の交点をCとすると,
点Pが存在しうる部分は △BB'C の周および内部で
あり、右の図の斜線部分である。
B
△ABC∽△B'A'C であるから
AC: B'C=AB:B'A'=1:2
A'
また,Bは線分 OB' の中点であるから
△B'AB=△OAB
=A
したがって, 図の斜線部分の面積は △BB'C= -△B'AB=
2
340
-△OAB
3
よって、点Pの存在しうる領域の面積は△OABの面積の倍である。
B'
