12 軸が動く2次関数の最大最小
a を実数の定数とする.xの2次関数y=x2-2ax+a+1(-1≦x≦1) につ
②
(1) この2次関数の最小値m を, a を用いて表せ。 また,mの最大値を求めよ.
(2) この2次関数の最大値Mを, αを用いて表せ.
(奈良大)
(解答
f(x)=x2-2ax+a+1 とすると, f(x)=(x-a)^-a²+a+1となるので, y=f(x) の
グラフは,軸がx=αで下に凸の放物線である.
軸x=α と定義域 -1≦x≦1の位置関係に注目して場合分けをして考える.
(1) 軸が-1≦x≦1の範囲に含まれる場合と含まれない場合によって,次の3つの場
合がある.
y=f(x)
a-1 1
(ア) a < -1
-1 a 1
3a+2
y=f(x)
(イ)-1≦a≦1
→
Ⅰ 2次関数
-1
(ア) a <1のとき, 区間の左端で最小になり, m=f(-1)=3a+2
(イ)-1≦a≦1のとき,頂点で最小になり, m=f(a)=-a²+a+1
(ウ) 1 <αのとき, 区間の右端で最小になり, m=f(1)=-a+2
以上より,
けない
1 a
(ウ) 1 <a
y=f(x)
30
必ずaをつかった本は場合分け!!
(α<-1のとき)
場合分けは、
