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重要 例題 166 正四面体と種々の計量
00000
1辺の長さが4の正四面体 ABCDがあるのでの値をそれぞれの式で表せ
(1) A から BCD に下ろした垂線AHの長さと
(2) 正四面体 ABCD の体積
(3) (1) のHに対して,Hから△ABCに下ろした垂線の長さ
基本165)
指針▷> 空間図形の計量では、直線と平面の垂直(数学A)の性質を使うことがある。
直線が平面α上のすべての直線に垂直であるとき, 直線んは
αに垂直であるといい, hiα と書く。 このとき, んを平面α.
の垂線という。
また、平面の垂線については、次の性質が重要である。 なお,こ
の性質は (2) の別解で利用する。
平面α上の交わる2直線をℓ m とすると
hil him ならば h⊥α
すなわちんがα上の交わる2直線ℓに垂直ならばんは上のすべての直線と垂直
である。
これらのことを踏まえて、以下のように考える。
(1) 直線 AH は平面 BCD 上のすべての直線と垂直であるから
AH⊥BH, AH⊥CH, AH⊥DH ebp20-M-KO+MO- ||
ここで、 直角三角形 ABH に注目する (立体から平面図形を取り出す) と
AH=√AB2-BH?
よって まず BH を求める。
(2) 四面体の体積=1/138×(底面積)×(高さ)に従い 1/3･ABCD・AH と計算。
(3) △ABCを底面とする四面体 HABCの高さとして求める。
解答
A
(1) AH⊥ABCD であるから, △ABH, ACH, △ADHは
いずれも∠H=90°の直角三角形であり
AB=AC=AD, AHは共通
ゆえに AABH=AACH=AADH
-------D
B
H
よって, BH=CH = DH が成り立つから, Hは△BCD の外
接円の中心であり, BH は △BCD の外接円の半径である。
ゆえに, △BCD において, 正弦定理により
a
=2BH
sin 60°
a
a
よって
2sin 60°
したがって
a
AH=√AB2-BH2
a ² - ( 4² ) ² = √ 6 a
16
BH=
201
√3
1v3 √6
･・a・asin 60°=
(2) ABCD=.
-α² であるから, (1) より
11/12/0
AH-1
40².5=222²
3
a
√2/
1.ABCD・AH=
12
a³
3
CDの中点をMとすると
△ACD, ABCD はともに正三角形であるから線分
AMLCD, BMLCD
よって、 直線 CD は平面 ABM に垂直である。
√√3
AM=BM=BCsin60°= -
a
2
ここで
△ABM について, 底辺を AB とすると, 高さは
√(√²³ a)²-(2)² = √2 a
2
√2
297 SABM-1-a2a=12²
△ABM=
よって
4
ゆえに,正四面体 ABCD の体積は
2×(12.AABM-CM)= 23.2.2-12
√2
2X
-a³
(3) 3つの四面体 HABC, HACD, HABD の体積は同じであ
るから、(2) より,四面体 HABC の体積は
1 √2
√2
-a³=
3 12
36
/2
求める垂線の長さをんとすると
1
36
-a³= ･・△ABCh
3
△ABCの面積は (2) 求
めたABCDの面積と同じ。
よって h=α°•3•-
4
√3 a²
√6
36
a
9
(1)正三角形において, その外接円の中心 (外心)と重心は一致する。 このことを利用して
次のように考えてもよい。 なお, 重心については数学Aで詳しく学ぶ。
△BCDは正三角形であるから, 外心H は ABCD の重心でもある。
線分 CD の中点をMとすると
B
BH-BM-√3 a
したがってAH=√AB²-BH2
3
M
D
a²_
a
a
V
3
BH: HM=2:1
SL
練習 1辺の長さが3の正三角形ABCを底面とし, PA=PB=PC=2の四面体
0166 PABCがある。 辺AB上の点Eと辺AC上の点Fが, AE = AF = 1 を満たす。
(2) 点Aから3点P, E,F を通る平面に下ろした垂線の長さんを求めよ。
(1) 四面体 PAEF の体積を求めよ。
Op.264 EX122
を忘れないように!
/M
3
B
M
257
√√3
1-HA:19
A
R
◆ △ABM を底辺とする三角
錐を2つ合わせたものとと
らえる。
4章
19
三角比と図形の計量
