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数学 高校生

なんで0<|x|<π/2としていいのか教えてください！

sina B の極限 2 前ページで示した2を用いると, 三角関数の極限に関する重要な公 式を証明することができる。 ただし、角の単位は弧度法によるものとする。 sinx の極限 XC sinx lim =1 x-0 XC 9-1-8- 証明 x→0のときを考えるのであるから,0<x</ としてよい。 [1]0<x<のとき 点を中心とする半径1の円において, 中心角xの扇形 OAB を考える。 点B から OAに下ろした垂線を BH, 点Aにおける円0の接線が OB の延長と交わる点をTと すると, AT は OAに垂直で,面積について AOAB <扇形 OAB < AOAT BH=sinx, AT = tanx であるから 12/21sinx/121x<1/12 よって sinx<x<tanx B tanx •1•tanx sinx STUZ ← Tosx H 各辺を sinx で割ると, sinx>0 で あるから 1<- x < sinx COS x sinx 1>. > COS X x sinx lim x+0 x =1 ゆえに lim cosx=1であるから x+0
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数学 高校生

解説見ても分かりません 分かりやすく解説していただきたいです🥲

4 次のような2つの円すいがある。 図1の円すいは, A を頂点, BC を 底面の直径とし,底面の半径が3cm,高さは4cmである。 図2の円す いは, D を頂点, EF を底面の直径とし,母線 DE の長さは12cmであ る。このとき, 次の各問いに答えなさい。 なお,答えは その中に書くこと。 また,(3), (4) については,計 算過程も書くこと。 A 図 1 D 図 2 cm B 3 cm C 12cm E F
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数学 高校生

sin x /x→1の証明について 円を用いた面積比較からのはさみうちを使って証明する方法（一枚目）が有名ですが、微分係数の定義に当てはめる（二枚目）のはダメなんでしょうか？ sin xのグラフの原点の傾きという意味なのですごく単純です

[証明] とし,∠ABC = 0 とする.この B 3 のグラ CD lim- 8-082 表しています。 とを を求めよ. かり記憶しておきましょう。 この大小関係は、よく利用されるものなのでしっ y=sin.x 12 0 三角関数に関する極限のうち、最も重要であるのは次の極限です . この定理を用いて, lim sin.x lim 110 I sin.x 1-0 I =1であることを示しましょう. [証明 ] x→0 とするから, 0<|x|<1としてよい。 この公式を証明するための準備として、次の定理の成立を示しておきましょう。 0<x< 10 において, sin.z<x<tanzi sinr<r<tanr の各辺を sin.x(0) で割って, 1<x 1 sinx COS.X ∴. 1> sinx > COS I I 図のように, 半径1の単位円周上に∠AOB=x (x は弧度法の角) となるように2点A, B をとる. lim cos.x=1であるから, はさみうちの原理により +0 このとき面積について, 点Aにおける円の接線と半直線 OB との交点をT とする. B. sinx lim =1 ......① 次に, 2 IC x+0 t< <<0のとき、x=-t とおくと << であるから,①より、 sinx sin(-t) sint IC lim lim- lim- =1 0115 x t+0 -t t+0 t △OAB <扇形 OAB < △OAT が成り立つ. それぞれの面積をx を用いて表すと ①.②より. 1 2 sinr<<tanr 1 2 0-(-x+x) mil lim sinx TC x0 =1 なる.したがって, 0<x<2/27において、 no inil が成り立つ. sinr<r<tang 薫り立つ. (証明終わり) この極限公式は,xが十分に小さい (0に近い)とき, sinx≒x であることを表しています.
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