数学Ⅰ･数学A [第3問~第5間は、いずれか2問を選択し､ 解答しなさい。
第4問 (選択問題)(配点20)
自然数nの累乗を17で割ったときの余りについて考える。
(1) n=1,2,3,45678のとき, ㎡ を17で割った余りは表1のように
11
6² =
n²
を17で
割った余り
1
1
1
となることがわかる。
=17²-2×17×8+8
=17(17-2×8) +8²
n=9のとき,917-8 であるから
9²=(17-8)²
2
4
4
117-21
9
3
9
したがって, 92 を17で割った余りは アイ
■同様に考えると,3562 を17で割った余りは
表 1
16
16
5
25
8
である。
6
36
2
7
49
15
8
64
13
225 258284
321 356
18 19.
ウ である。
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
数学Ⅰ・数学A
(2) 1+1=²..・･･･① を満たす自然数nの組について考えてみよう。
①を変形すると
171²-1
=(n+1)(n-1)
となり, 17 は素数であるから, n+1またはn-1が17の倍数である。
n+1が17の倍数であるとき、 自然数を用いて
n+1=17p
n=17p-1
と表される。
② のように表されるnのうち、1≦n≦100 の範囲にある最大のものは
エオ
である。
また, n-1 が17の倍数であるときも含めると、①を満たす自然数nの組で、
1≦x≦100 を満たすものは全部で カキ個ある。
(3) 17m+1=n······ ③ を満たす自然数m,nの組について考えてみよう。
③を変形すると
17m=n¹-1
=(n²+1)(n²-1)
となり, 17 は素数であるから, n²+1 または²-1が17の倍数である。
n+1が17の倍数となるのは､nが, 17で割ると
余る数または
ケコ余る数のときである。
また, -1 が 17の倍数であるときも含めると、③を満たす自然数m,nの組
1100 を満たすものは全部でサシ個あり、このうち最大のnは
スセである。また, nが最小となるときのの値はソタである。
