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8 数列の極限 / 漸化式
x<0 とするとき, 次の条件によって定められる数列{an}がある.
(n=1,2,3, ......)
(3)
n10
表せ.
ak+1=
2"×sin
a1 cos
0
an = COS が成り立つことを示せ.
2n
が成り立つことを証明せよ.
(3) bn=axax as ×・・
π 0
<.
4 2k+1
Cn+1=2"x2sin
2ntr
=2" x sin
lib=lim
0
2 an+1=
解答量
(1) 数学的帰納法で示す. n=1のとき成り立つ.
n=kで成り立つとすると,
1/(1+(n)=1/(1+
T
Cn=2"sin-
0
2n
半角の公式を連想する 本問は三角関数がらみである. そこで与えられた漸化式を三角関数の公式
と関連させて眺めよう. すると, cos 0
=
2
0
X cos X cos
2
0
2n
0
2n
1+an
2
22
0 0
Cm は一定で, C=C=2cos sin
2 2
1+cos
であるから, cos
......Xan (n=1, 2, 3, ..... とおく.0=0のとき, limb を0を用いて
n→∞0⁰
(新潟大・理,医,歯)
0
22
X cos -X cos
2
n-∞ sin (0/2") 0
X cos
0
2k
0
2k+1
=
->0
よって,n=k+1でも成り立つから,数学的帰納法により証明された.
(2) 与式の左辺をcm とおくと,
ədalə
0
(aimagenranspot.come on
COS
2n+1 2n+1
2
X cos X cos
=sin(
23
X...... X cos
nail
1+cos 0
2
COS
..
ayaz......an ... sin0=2"sin
0/2" sin sin
0
0
22
0
2n
2
0
2k+1
X cos = sin (n=1, 2, 3, ………….)
0
2n
0
2n
ak+1=COS
の公式を連想するのは難しくはないだろう.
X・・・・・・ X cos
Cn
-bn
0
2k+1
0
2n
1
(1+cosa) = cos2mm
2
√ x2 = |X|に注意して√を外
す。
← (2) も数学的帰納法で示すこと
ができる.
0
2n+1
(2sinacosa=sin2a)
←2sin
COS
0
2n
0
2n+1
Cn+1=2x5in274
=sin
0
2n
"xsin ni xcus=xcus=-=+=+=
1
x ... x cos x cus int
→0 (n→∞)
