数B　郡数列 下の写真についてです。 2枚目の赤マーカーをしたところ、なぜこのような式になるのかを教えていただきたいです どの公式を使っているのでしょうか？ よろしくお願いします

模試・入試 2 群数列 基礎問題 間違えた問題は✓を入れて、翌日以降にもう1度解き直そう。 1から順に奇数を並べ、 1番目の奇数11個 2番目の奇数3が2個, 3番目の奇数 5 が3個, ………というように, n番目の奇数がn個あるような数列をつくる。 1/3, 3/5, 5, 5/7, 7, 7, 7,9, (1) 25 が初めて現れるのは第何項か。 (2) 第100項を求めよ。 説明会に外せない度

等比数列の問題です。 一般項を求めるところまでは分かりましたが、その和を求める時に、なぜ2⁸になるのかが分かりません。 わかる方解説お願いしたいです🙇‍♀️💦

等差数列についてです。 赤線の部分の「検討」が分かりません。なぜ、l=3,m=2ではいけないのでしょうか。 ご回答よろしくお願いします。

524 00000 基本85) の2つの飲嗣に共通に含まれる数を、小さい方から順に並べてできる場に の一般項を求めよ。 重要 例題 93 2つの等差数列の共通項 指針▷ an=1+4(n-1) であるから, 数列{an}の初項は 1, 公差は 4, bn=2+7 (n-1)であるから,数列{bn}の初項は2,公差は7である。 具体的に項を書き出してみると +4は7回 +4 +4 +4 +4 +4 +4 +4 +7 {an}:1,5,9, 13, 17, 21, 25, 29 33 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, ...... 37. 44, 51, 30, 58, 23. 65, ...... 16. (bn): 2, 9. +7 +7 +7 7は4回 よって{cm):9,37,65, となり、これは初項9, 公差 28 の等差数列である。 公差 4.7 の最小公倍数 このような書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからない (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率である。そこで, 1次不定方程式 (数学 A) の解を求める方針で解いてみよう。 共通に含まれる数が,数列{an}の第1項, 数列{bn}の第m項であるとすると a=b₂ よって, l, m は方程式 41-3=7m-5 すなわち 41-7m=-2の整数解であるから、まず この不定方程式を解く。 ········· 解答 a=bm とすると 4l-3=7m-5 よって 41-7m=-2...... ① l=-4, m=-2 は ① の整数解の1つであるから 4(+4)-7(m+2)=0 →40.7m=.. 11 4 7 解として,例えば, l= (kの式) が得られたら,これをa=41-3の1に代入すればよい。 ただし,kの値の範囲に注意が必要である (右ページの検討 参照)。 ゆえに 4(1+4)=7(m+2) 17 8 -14 *3 12 -21 4と7は互いに素であるから, kを整数として l+4=7k, m+2=4k すなわち 1=7k-4, m-4k-2 と表される。 ここで, , m は自然数であるから, 7k-4≧1 かつ 4k-2≧1 より kは自然数である。 よって, 数列{cn}の第k項は, 数列 {an} の第1項すなわち第 (7k-4) 項であり 一般項にハンクローチを代入。 4(7k-4)-3=28k-19 求める一般項は,k を n におき換えて 重要 100 (公差) = (nの係数) (*)数列{a}の k2018 C=28n-19 共通に含まれる奴が の 数 をすると、 l=3.m=2とした場合は 検討 参照。 にはかつを 満たす整数であるから、自 然数である。 数列{bn}の第m項すなわ 第 ( 4k-2)項としてもよ い。 28-1914. {C} 9-²5 ck- a + (2-1)dz - 17 75. 式:282-19:dbeta-dでardを出したら. a = a (^-1) drifti 28 4と7の最小公倍数は FULL (am):1,5,9, 13, 17, 21, 25, 29, .. であり, {bm):2,9,16, 23, 30, . であるから C1=9 よって, 数列{C} は初項 9, 公差 28 の等差数列であるから、 cn=9+(n-1)・28=28n-19 その一般項は ① 41-7m=-2･･････ ① を満たす整数解 (特殊解) を1つ見つける。 足 解答では,以下の手順に沿って1次不定方程式を解いている。 →例えば,「Z=-4, m=-2」, ｢l=3, m=2」 など。 簡単に見つからない場合は,互除法の計算過程を利用する。 ②2 1 において ｢l=-4, m=-2」とした場合, 4(-4) -7 (-2)=-2 ･･････ ② が成り 立つから, ①-②より, 4(Z+4)=7(m+2) のように変形できる。カナ 3 4と7は互いに素であることに注目し, 1,mをんで表す。 一般に,次のことが成り立つ。 1次不定方程式と整数解 ····・・チャート式基礎からの数学A 参照。 2つの整数a,bが互いに素であるとき, ax+by=c(cは整数)の整数解の1つを (x,y)=(p, g) とすると, すべての整数解は x=bk+p, y=-ak+q (kは整数) と表される。 STABSTRO 20 討l=3m=2 とした場合について l=3m=2 とすると, 4・37･2=-2から 4(1-3)=7(m-2) ゆえに 4と7は互いに素であるから, kを整数として Aan=1+4(n-1) bn=2+7(n-1) 24,7 と表される。このとき, 4(1-3)-7(m-2)=0 1-3=7k, m-2=4k すなわち l=7k+3, m=4k+2 41-3=4(7k+3)-3=28k+9..... (**) 525 となる。 ここでlとm がともに自然数となるのは, k=0, 1,2, ······ のときであるから, 数列{cn}は, 9( 28.0+9), 37(=28-1+9), 65(=28-2+9), ****** すなわち,初項 9 公差 28 の等差数列である。 したがって Cm=9+28(n-1)=28n-19 これは(**) kn-1におき換えたものである。 解答の(*) について, lとmがともに自然数となるようなkはk=1, 2,3,..... であるから, nにおき換えられたのであり、上の(**) ではkをn-1におき換えなければいけない。 kを単純にnにおき換えてはいけない。 注意の値の範囲を調べて、その範囲が自然数でない場合は、範囲が自然数になるように調整 する必要があるということに注意しよう。 練習 93 2つの数列に共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列{cm}の一 等差数列{an}, {bn}の一般項がそれぞれ a=3n-1,bn=4n+1であるとき この p.526 EX60, 般項を求めよ。 3章 12 等 差数列

なぜ、解答で、2項目はかっこの中に一分の一が入らないのかが分からないです。教えて頂きたいです。

(2) S=1+1+2+ 1 1+2+3 第1項は、 $₁₂. h(h+1) 2 S= =2 + + 1 1 +2+3+ +1 等差1の等差すれつの和 2 h (n+1) +n (-1)+(1 2 2 ( = - = -1) (44 3

EX76の問題を標問135の研究と同じ解き方で、3x+2y=6nを両辺6で割ってx/2+y/3=nになってx=2k、x=2k-1で場合分けして解くことはできますか。

無問 135 格子点の個数 I, y, z を整数とするとき, ry平面上の点(x,y) を2次元格子点, TYz 空 間内の点(x,y,z) を3次元格子点という.m,nを0以上の整数とすると き,次の問いに答えよ. (1) 2012/21/ysm をみたす 2次元格子点(x,y) の総数 + を求めよ. (2) x0,y0,z≧0かつ 1/3+1/13y+zan をみたす 3次元格子点 (x,y,z) の総数を求めよ. (名古屋市立大 ) ・精講 (1) 格子点をどう数えるかが問題で す。研究でx=(一定) となる直 線上の格子点を順次数えてみましたが, 大変です. そこで合同な三角形を付け足して長方形にしてみ たらどうでしょう. (2) z=(一定)となる平面による切り口を考え ると (1) が利用できます。 〈解答 (1) 0(0,0),A(3m, 0), B(3m, 5m),C(0, 5m) とおくと, 与えられた領域は △OACの周および内部である. △OAC≡△BCA であり,線分 AC 上には (0, 5m), (3, 5(m−1)), (6, 5(m-2)), ···, (3m, 0) のm+1個の格子点がある. =1/12 (15) 1 (2) ²/3x+//y+z<n & {√x+} {y≤n-z 求める2次元格子点の総数Sは, 長方形 OABC の周および 内部にある2次元格子点の総数を T, 対角線AC上の2次元格 子点の総数をLとおくと 0 S=1/12(T_L)+L=1/12(3m+1)(5m+1)-(m+1)}+(m+1) -(15m²+9m+2) 解法のプロセス (1) 三角形内の格子点の総数 ↓ 長方形を考える (2) z=(一定) 平面による切 り口を考える と変形する. z(z=n,n-1, n-2, ..., 0) を固定し, 303 3n x n y+ 5mm 0 -n-m B 3m HA IC 5n 第8章

線が引いてある最後の一行が分かりません。教えてください

例題 B1.23 和S, と一般項an の関係 (2) **** 初項から第n項までの和がんである数列において、第1項 第3項,第 5項.....と順番に1つおきにとって新たに定められた数列の第n項を求 めよ、 考え方 もとの数列{an},求める数列を(b)とすると、2つの数列 (1 an=S₁-Sn-1 の関係は次のようになる、 {an} av,a2, as, as, as, a2n-2, A2-1. A2, 830065 解答 {0} 61, ba Focus b3. ***** an=Sn-Sn-1 A-11 bn, n個 UŽI つまり、{bn}の第n項は, {an}の第 (2n-1) 項になるので,まず, {an}の一般項を求め て、それを使い, {an}の第 (2n-1)項を求めればよい. 最初に与えられた数列{an} とし,初項から第n項まで の和をS" とすると、 S₁=n² n≧2のとき, GA+INS **** =n²-(n-1)=2n-1 ...... ① また、 a=S=12=1 α」 を求める. これは、① で n=1 としたときの値と等しい。 sn=1のとき, ①は, したがって, 一般項a, は, an=2n-1 2.1-1=1 求める数列{bn} とすると,{bn}は, a1, a3, a5, .......... a2n-1₁ となり,{bn}の第n項は、{an}の第 (2n-1) 項となる. よって, bn=a21=2(2n-1)-1 An-3 n≧2 のとき, an=Sn-Sn-1 n=1のとき, a=Si al, a3, a5, の第n項は α2-1 より,b= 20003cb JAN 注》 例題 B1.23 の数列{an}, {bn} を実際に書くと. {a}: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, {bn} : 1, 5, 9. 13, より,{bn} は初項1. 公差4の等差数列となっている このことより、b=1+(n-1)･4=4n-3 と考えることもできる。 3)(1+1 523773 第1

【途中計算】何度計算してもこれになりません

2の累乗を分母とする既約分数を、次のよう 1 131 3 5 2'4'4'8'8'8'8'16'16'16' について, 第1項から第100項までの和を求めよ。 母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 1 31 3 5 3 5 1 15 4'48' 16 322 ・群には2k-1 個の項があるから, 第1群から第n群までの 総数は 1$+ Σ2²-2 71 8'8'816'16'16' 100-63=37/ って,第100項は第7群の第37項である。 第n群の項の和は k=1 7 1 3 5 1+2+2+ ...... +2n-1= 0項が第n群の項であるとすると 2"-1-1<100≦2"-² ① である -1は単調に増加し、2-163,2'-1=127 であるから, たす自然数n nは n=7 の末項が第63項となるから, - 2 1²/ (1+3+ --- / +(²² - ()} = •2"-1{1+(2″-1)} +("-)} 2n 2" =2n-2 各群の番目の項の分子は2k-1である。 求める和は 126-1 2-1 2 =1/2/63 2"-1 2n-1 2-1 {1+3+......+ (2・37-1)} ·63+ 128 11 2 -.37² 16 1369 5401 128 128 32 次のように従に分けて考える。 (2(-1) ←初項1,公比2,項数n 一の等比数列の和。 ←2°-1=63 は第n群の分子の 和で,初項 1, 末項2″ - 1. 項数 27-1 の等差数列の和。 (1+(k-1)・2=2k-1 TOS: 数 1, 2, 3, を、 右の図のように並べる。 左からm番目,上から1番目の位置にある自然数をmを用いて ませ。 150は左から何番目,上から何番目の位置にあるか。 6 ← 24-²-2-2-2 ・2k-1 k=1 [類 中央大 ] A ←1+8+5+.. +(2n-1)=n² (2) ... h² 1247 3 58 69 10 ... ... ...... よっ この 第1 150 ゆ ... 練 *** *** *** (1 *** ***

答えが配られなくて困ってます泣 回答よろしくお願いいたします。

【10】 次の文章を読んで、下記の問いに答えなさい。 日本国憲法は、日本が ( 1 ) 宣言の受諾により第二次世界大戦の終戦を迎えた後、(a) 帝国議会の 審議､可決を経て､ 国民自らが制定した民定憲法として成立し、1947年5月3日から施行された。 この 法は、形式的には(b) 大日本帝国憲法の改正手続きによって制定されたが､大日本帝国憲法とは異なる 原則が盛り込まれた、実質的にはまったく新しい憲法である。 日本国憲法は国民主権、基本的人権の尊重、平和主義を三大基本原則としている｡ まず、前文で 「こ こで主権が国民に存すること」を宣言し､ 「国政は国民の厳粛な ( 2 ) によるものであって、 その権威 は国民に由来し、その権力は(c) 国民の代表者がこれを行使し、 その福利は国民がこれを享受する」 と規定して、国民主権を明らかにしている。それとともに､憲法第1条では、天皇を日本国の (3) であり日本国民統合の ( 3 )として「この地位は、主権の存する日本国民の ( 4 ) に基く」と規 定し、天皇主権を否定している。 次に、日本国憲法が保障する権利は､大日本帝国憲法の下での ( 5 ) の権利とは異なり、(d) 自然 植思想に由来する人間が生まれながらに持つ権利とされ、それぞれの特徴に応じて、 平等権や自由権 (e) 社会権、政権など様々な種類に分類される。 最後に、日本国憲法は､前文で恒久平和主義や国際 ( 6 ) 主義を宣言し、 全世界の国民が 平和の うちに生存する権利」を有することを確認した。 さらに、憲法第9条第1項で、国権の発動たる戦争と武 力による威嚇または武力の行使の放棄を規定し、 そして第2項で、戦力の不保持と「国の ( 7 ) 権」 の否認を規定している。

なぜ項数がk−1じゃないんですか kになる理由がわかりません

442 基本例 20 一般項を求めて和の公式利用 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 (1) 12,3252 解答 指針 次の手順で求める。 (3) ① まず一般項を求める 第k項をの式で表す。 ②2 2(第1項)を計算。 Σk, k, の公式や、場合によっては等比数列の 注意で,一般項を第n項としないで第k項としたのは,文字 n 公式を利用。 いるからである。 等比数列の和 (2) an=1+2+22+...... +2k-1 等比数列の和の公式を利用してα をんで表す。 CHARTZの計算 一般 (第k項)をんの式で表す 与えられた数列の第k項をn とし, 求める和を Sn とする。｣ (1) ax=(2k-1)。 よってSn=ax=(2k-1)=2(4k²-4k+1) k=1 よって n n n = 42 k²-42k + 21 k=1 k=1 k=1 (2) k=1+2+2°+..+2^-1= 1 1 =4.11n(n+1)(2n+1)-4・1/12/n(n+1)+n う -1/13(2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3} =1/13n(4n²-1)=1/13n(2n+1)(2n-1) = n n n Sn=Σ ak= Σ(2¹-1)= Σ2² - 1 k=1 k=1 k=1 (2) 1, 1+2. (1+2+22 2 4 9 n k=1 2(2-1) 2-1 1 2 練習 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 ②20 (1) 12,42, 72, 102, A 1∙(2² − 1) 2-1 --n=2"+1-n-2 + -=2¹²-1 09 注意 和が求められたら, n = 1,2,3として検算するように心掛けるとよい｡ 例えば,(1) では, (*) において, n=1 とすると1で,これは12に等しくOK。 (*)においてn=2とすると10で 12+32 10 から OK。 基本1.19 n 111 1 + が項数を表して 基本 第k項で一般項をお る。 次の数列の 1. 1/3でくくり に分数が出てこないよう にする。 (2) 1,1+4,1+4+7, 指針 akは初項1,公比2. 数んの等比数列の和 S₂=2 (22-2 k=1 表すこともできる。 例題 方針 方第 7459 EX12 各

初っ端からつまずいてるんですけどSn=n²になるのがまずhatenaです(>_<)(>_<)(>_<)😭😭😭

例題 B1.23 和 S と一般項an の関係 (2) **** 初項から第n項までの和がんである数列において、第1項 第3項,第 5項, と順番に1つおきにとって新たに定められた数列の第n項を求 めよ. [考え方] ****** もとの数列{an},求める数列{bn} とすると,2つの数列 の関係は次のようになる. {an} a. a2,a, a, {bn} b₁. b₂. b3. Q2月 2, a2n-1, 2n an=Sn-Sn-1 n個 つまり、{bn}の第n項は, {an}の第 (2n-1)項になるので,まず, {an}の一般項を求め て, それを使い, {an}の第 (2n-1) 項を求めればよい. 解答 最初に与えられた数列{an} とし,初項から第n項まで の和を " とすると. S₁=n² n≧2のとき. bn. =n²-(n-1)'=2n-1 また. a=S=12=1 これは, ① で n=1 としたときの値と等しい. したがって, 一般項a, は, 求める数列{bn} とすると,{bn}は, ai, a3, as, '....', a2 1, an=2n-1 ****** a=S₁-S₁-1 α」 を求める n=1のとき, ① は、 2-1-1=1 a. as. As. 第8