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●7 実数解の個数/定数項以外に文字定数-
関数f(x) = ar(a+3)x+a+3について,次の問いに答えよ.ただし,αは0でない実数とす
(1) f(x) の導関数をf(x) とする。 æの方程式f'(x)=0が実数解をもつようなaの範囲を
め,またそのときの実数解をすべて求めよ.
(2) の方程式f(x)=0が3個の異なる実数解をもつようなαの範囲を求めよ。 (宮城教
f(α) f(β) の正負で解の個数がわかる 3次関数y=f(x) が, x=α, βで極値を持つとき,
f(a)f(B)が,正, 0, 負のどれであるかによって, f(x)=0･･････① の解の個数が分かる.
(i) f(a)f(B) <0⇔f(α) とf (B)は異符号 〔f (α) f (B) <0なら,α=B]
(i) f(α)f(β)=0⇔f(α)= 0またはf(β)= 0
(i) f(α)f(B)>0⇔f(α) f (B)は同符号
であることに注意すれば, (i) ~ (Ⅲ)のグラフは, (f(x)のxの係数が正とする)
(i)
(ii)
(iii)
NiNNINIA
B
120
a
B
となる. 実数解の個数は, グラフとx軸の共有点の個数なので、 ①の実数解は,
(i) のとき3個 (i) のとき2個 (i) のとき1個
■解答量
(1) f'(x)=3a²²-(a+3) であり, a=0, f'(x)=0より,
右辺が非負のとき, x=±
a +3
3a
(=±y) とおく.
x² = 9+3
3a
a +3
-0. この左辺は, 4=0, -3の前後で符号変化し, a≦-3, 0<a ...... ①
3a
(2) ① が成り立たなければならないから, 以下①の下で考える.
f(x)=0が3個の異なる実数解を持つ
f(r)f(-x)<0
f(x)をf(x)で割ると、商 1/23/2/3 (a+3)x+a+3となるので
--x,
ƒ(x)= xƒ'(x)=²(a+3)x+a+3. CHKx=y&HALT,
f(x)=1/17f(x) 1/12 (a+3)y+a+3= (-/2/2y+1)(a+3)
同様にして、バー) (12y+1)(a+3)
s(r)s(-x) = (-3²3r+1)(²3r+1)(a+3)²=(1-1/y²)(a+3)²
a=-3のときf(x) f(-y) =0で不適であり, (a+3)^>0 に注意すると,
f(y) f(-y) < 0
⇒1-²01-2
4 a +3
9 3a
10⇒
23a-12
27a
-<00<a<
12
23
f
2018
左辺は, a>0のとき正なので
0>α>-3のときは負, -3>
のときは正となる.
-3 0
07 演習題(解答は p.127)
a は実数とする. 3次方程式x+3a²+3ax+α=0の異なる実数解の個数は,定数a
の値によってどのように変わるかを調べよ.
(横浜市大理系)
f(x)f(-x)<0ならば,
yキーなので, x=y, -vで
値を持つ .
p.14 で紹介した「次数下げ」
f'(x)=0
B
1
0 12
23
極値の積の正負を調べ
る.
4340
a
fcr
f
