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基本 例題 67
座標を利用した証明 (1)
00
△ABCの重心をGとするとき, AB' + BC2+CA²=3(GA2+GB2+GC)
成り立つことを証明せよ。
CHART & THINKING
座標を利用した証明
座標を利用すると、図形の性質が簡単に証明できる
場合がある。 そのとき, 座標軸をどこにとるか, 与
えられた図形を座標を用いてどう表すかがポイン
トとなる。 そこで、あとの計算がスムーズになるよ
うに, 座標軸を定める
10 を多く
② 変数を少なく
1 問題に出てくる点がなるべく多く座標軸上に
くるように— 0 が多くなるようにとる。
y
p.112 基本事項
3.
A(x1, y₁)
(x + x + x +
C(x3, 93)
3
B(x2,y2)
COSTA
x
O
辺BCをx軸上に
y
A(x1, y₁)
A
x
3
OB(x2,0) C(x3,0)HA
日
もっとよい方法は?
2 2つの頂点を原点に関して対称にとる
変数の文字を少なくする。
これらをもとに,点 A, B, C の座標を文字でどう表すかを考えよう。
解答
直線BC をx軸に,辺BCの垂直
BC-(-1-4)+(S-1)=Se
(8-1)+((-)-1)-2
二等分線をy軸にとると、線分A(a,b)
BCの中点は原点0になる。
10を多
② 変数を少なく
A (a,b) とすると、
a b
c(1.12/3)となり
33
A(3a, 36), B(-c, 0), C(c, 0)
とすると, Gは重心であるから,(0
G(a, b) と表すことができる。
2
(G(a,b)
-0)
B
#
(-c, 0) (c,0) x
少し煩雑
このとき
+1)(8-6)+
a
AB2+BC2+ CA2
1-88-D
={(-c-3a)+(-3b)2}+{c-(-c)}+{(3a-c)2+(36)2}
==3(6α²+662+2c2 ...... ①
GA2+GB2+GC2
={(3a-a)2+(36-b)2}+{(-c-a)+(-6)2}
=6a2+662+2c2
******
②
②から
+{(c-a)+(-6)2}
AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC?)
両辺を別々に計算
比較する。
注意 更に都合がよ
ようにと, A(0,36
とおいてはいけない。
場合,Aはy軸 (辺
垂直二等分線) 上の
定されてしまう。
