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重要 例 19 塗り分けの問題(2) 円順列・じゅず順列
立方体の各面に, 隣り合った面の色は異なるように, 色を塗りたい。ただし、
方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
(1)異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
(2)異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
00000
基本
(1) 1
(ア)
基本 17 重要 31
(イ)
(2)
何値
下面
(ア)
側面は円
指針
指針 「回転させて一致するものは同じ」 と考えるときは, (1) 1色で固定 展開図 (上面を除く)
特定のものを固定して、他のものの配列を考える
(1) 上面に1つの色を固定し, 残り5面の塗り方
を考える。 まず下面に塗る色を決めると, 側面
の塗り方は 円順列を利用して求められる。
(2)5色の場合、同じ色の面が2つある。 その色で
上面と下面を塗る。 そして, 側面の塗り方を考
えるが,上面と下面は同色であるから,下の解答
のようにじゅず順列 を利用することになる。
異なる色
(2)
同色で固定
CHART 回転体の面の塗り分け1つの面を固定し円順列 かじゅず順列
(1)ある面を1つの色で塗り,それを上面に固定検討
解答
する。
このとき, 下面の色は残りの色で塗るから
5通り
そのおのおのについて, 側面の塗り方は, 異なる
4個の円順列で
(4-1)!=3!=6(通り) 干
よって
5×6=30 (通り)
(1) 次の2つの塗り方は,例えば、
左の塗り方の上下をひっくり返
すと、右の塗り方と一致する。
このような一致を防ぐため, 上
面に1色を固定している。
解答
(2)2つの面は同じ色を塗ることになり、その色の
選び方は 5通り
その色で上面と下面を塗ると,そのおのおのに
ついて、側面の塗り方には,上下をひっくり返す
と, 塗り方が一致する場合が含まれている。
ゆえに、異なる4個のじゅず順列で
(*)
6
5'
(2)(*)に関し,例えば,次の2
つの塗り方(側面の色の並び方
が,時計回り、反時計回りの
いのみで同じもの)は,上下を
ひっくり返すと一致する。
25
(4-1)!_3!
=3(通り)
2
2
よって
5×3=15 (通り)
E
2
5
練習 次のような立体の塗り分け方は何通りあるか。 ただし, 立体を回転させて一致する
③ 19 塗り方は同じとみなす。
(1)正五角錐の各面を異なる6色すべてを使って塗る方法
(2)正三角柱の各面を異なる5色すべてを使って塗る方法
p.366 EX16
練習
② 20
