B1-42
(60)
第1章 数
列
B1.28 格子点の個数
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自然とするとき、次の条件を満たす整数の組 (x, y) はいくつあ
(1) ps/y/≤2p, ps/x/≤2p
か、
(2)x+2y≦2p.y≧0x20
(3) 0≤ y ≤500, 0≤x≤√√
考え方 座標がすべて整数である点を梢子点という。
(1)(2) 具体的な数を入れて考えてみるとよい。
たとえば、(2)では,
0
(学習院大・改
(2,3)
2 x
34p=1
p=2
p=3
30
2
3
10
x O
4
O
0
となり,p=1のとき, 1+3=4
p=2 のとき, 1+3+5=9
p=3 のとき, 1+3+5+7=16
p=4 のとき, 1+3+5+7+9=25
となっている。
p=4
一般に, 直線 y=k (k=p.p-1, ......,
0) 上には, それぞれ 1, 3, 5,
(2p+1) 個の格子点が並んでいる。
(3) 0≤x≤√y. (0≤)x²≤y
0≤y≤500, 0≤x≤ y ≤√500=10/5=22.4
より 右の図のようになる。
y
1500
Jx
ここでは,与えられた条件を
変形し
x²≤y≤500
0
x=k上にある格子点の個数を考える.
(2)
y
YA
2p
p+1
p
-2p-p O
p: 2px
p+1
Fo
解答
(1) 領域は、右の図のように、
1辺の長さの正方形4つ分
である。
x=p上にある格子点の個
数は,
y=p,p+1,........ 2p,
KAEROP-p-1,
-2p
の{2p-(p-1)}×2=2(p+1) (個)
同様にして,
x=p.......... 2p,p.
上の格子点の個数は,それぞれ,
x=p上の格子点の
2(p+1)
一方,xp,
-2p
-2
練習
2(p+1) 個
線の数は 2 (p+1)*
B1.1
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