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積分法
【p+1,9-1
p!g!
が成り立つことを証明せよ。
69 定積分漸化式
[1] In=
asin" xdxについて, In+2 を In で表すと In+2= [
とな
L= であることから, I = である. ただし, nは0
以上の整数とし, sinx=1 とする.
[2]pg を0以上の整数とし,Ino=fx(1-x)dx とおく。
ただし, x=1, (1-x)=1とする.
(1) Ip.o の値を計算せよ.
(関西医科大)
[2]
(1) Ip.o=
(2)g≧1のとき, Ipo=Ip+1.9-1 が成り立つことを証明せよ.
0+1
==
①でn=2とすると,
1-3-3-16*
①でn=4とすると,
=
3π
4
=
53
5
A=
T
32
①を繰り返し用いて、
積分法
531
1
642
531x
6422
5
=fxdx
Ⅰを求めてもよい
というように、人を求めないで、一気に
321
.P+1
1
p+1
(上智大)
(3) Ip.g=
(p+g +1 )!
Ip.9=
(2)部分積分を行うと,
・積分
7
=√(1-x)dx=
1
=
wP+1
p+1
TEL
+gにすると、
(3)でこれを用いる
そのまま
+g+1となり、
(解答)
[1] 部分積分を行うと,
sin0=0, cos s=0
n+2
In+2=
sin 2xdx
2
=0より、 sin'xcosx)は
そのまま
=0+. x²+(1-x)-1dx
==
p+1Jo
1p+1.9-1
-SH
P+1
p+1
(− q(1-x)-1) dx
微分
は0となる
となるので,
・そのまま
-積分
+1
sin" x sinxdx= sin'
`xCOSx
+1
そのまま
n+2^
I₁₁ =
次に、を求めると, sinxdxf1dx-11-1
π
=
=
=
2
①でn=0 とすると,
12=
6=
4-4-4-4
1
22
=(n+1)
2 sin" x cos²x dx
=(n+1)Jf sin"x(1-sin'x)dx
Cuttin=(n+1)f(sin”x-sin"+2x)dx
微分
sin"+1x=(sinx) *+1であるから,これを
(n+1)(sinx)" x (sinx)'= (n+1)sin" x cos x
微分すると,
となる
=(n+1)*sin" xdx-(n+1)sin+2x dx
=(n+1)In-(n+1)In+2
したがって, In+2=(n+1)I-(n+1)In+2 が成り立ち、これを整理すると,
(n+2)In+2=(n+1)In
i. Int2=n+1In
が成り立つ。
Ip.q=
=
p+1
(3)(*)を繰り返し用いると,
p+1
Ip+1,9-1
q 9-1
-Ip+2.9-2
p+1 p+21
q
-Ip+1,9-1
9-19-2Ip+3.9-3
p+1 p+2 +31
q
p + 1 p +2 +3
(*)・・・
(n+1)sin” x cosx •(−cosx)dx
を+1, gg-1とすれば、
D+210120-1
という関係になる.
このように, q の値を変えて
( * ) を ( 3 ) で使う
9-1
p+2
Ip +20-29-2
を用いた
p+3
g! と表せる
q-1 q-2
1
p+g
-Ip+9.0
PE
(*)を使うごとにLa の 「のと
「ころ」の数が1つずつ小さくなっ
ていくが0になると,それ以
上 (*)を使うことはできない。 そ
=_9_g-1g-2
p+1 p+2 p+3
1・2・3・・・・・
p!q!
分母に1・2・3
(p+g + 1)!
1
このため, I. が出てきた段階で、
p+g p+q+1
(*) を使った変形はストップする
1-2-3 p. g.g-1g-2
したがって, Ipq=
p+1 p+2p+3
1
p+q p+q+1
を補えば, 分母は(p+g+1)! と表せる。
分母だけに補うことはできないので、分子にも補っておく
p!q!
が成り立つ.
(p+g+1)!
1
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