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実戦問題 74 三角関数を含む方程式の解の個数
関数 f(8)=cos20 + 2sin0 +2 (
1)について考える。
(1) t = sin0 とおいてf(0) の式で表すと,f(8) アイピ2 +
ウ 1t+
I となる。また、もの値のとり得る範囲
は
であるから,f(e) は
ケ
0 =
またはクのとき最大値
0 =
または
シのとき最小値スをとる。
コ
[シの解答群
00
07
②
π
π
3
5
③
④
⑤
⑥ π
⑦
3
2
6
3
5
(2) 0≤0≤ - の範囲において, t = sin0 を満たすは
6
セ st
ソ
または t=チのとき1個,
st<チのとき2個存在する。
タ
したがって,
5
πの範囲において, 0 の方程式 f (0) = k を満たす 0 は
6
ツ <<
のときナ
テ
テ
個,k= またはk =
のとき 個存在し, <ツ または
くんのときは存在しない。
答
Key 1
三角関数
(1)t = sin とおくと
f(0)=1-2sin 0+2sin0+2=-2sin 0+2sin0+3= -2t2+2t+3 cos20=1-2sin20
5
1,0≦sin ≦1であるから 0≤t≤1
また, g(t)=-2t2 + 2t+3 とおくと
よって、 右のグラフより
9(t) = −2(t− 1)²+
7
一般
2
g(t)
3
t =
のとき
2
最大値 72
t = 0, 1 のとき 最小値3
1
ここで,t= のとき 0 =
2
=1/5または
5
π
6
0 11
t
t = 0 のとき 0 = 0, t=1のとき 0 =
π
2
2
したがって,f(9) は(①)または(2)のとき最大値
6
72
0=0 ) または 0 =
I
2
(4) のとき 最小値3
平方完成する。
g(t)
=-2t+2t+3
=-2(t-t)+3
=
={(-1/1-4/1}+3
sin0 = 1/1より
π
2
0 = または
6
5
sin0 = 0 より 6=0
sin0=1 より 0= =
5
(2)の範囲において, t = sin0 を満たすの個数は
1
2
Ost</1/23 または t=1のとき1個, St<1のとき2個
2
y=g(t) (0≦t≦1) と直線 y=kの共有点を調べると
7
1
(i) k= のとき,t= で1つの共有点をもつ。
2
7
0
1 x
1 1
2'2
t=1/2のときは2個
<t< 1 の範囲にそれぞれ
(ii)3<k< < のとき,O<t<
</
2
1つずつ共有点をもつ。
(i) =3のとき, t = 0, 1 でそれぞれ共有点をもつ。
1
<t<1/2のときは1個
<t<1のときは2個
5
したがって, 0
-πの範囲で方程式 f(0) = k を満たす0は
6
t = 0, 1 のときはそれぞれ
-7
7
3<< のとき3個=3またはk =
7
k<3 または くんのときは存在しない。
2
のとき2個存在し,
1個
2
攻略のカギ!!
Ke 1 sin 20, cos20 を含む式は, 2倍角の公式を用いよ
(p.149)
cos20=1-2sin20=2cos20-1 より sin または cos のみの式に変形することができる。
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