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基本 例題 19
階差数列と一般項
次の数列{a} の一般項 αn を求めよ。
(1)8, 15, 24, 35, 48,
(2) 5, 7, 11, 19, 35,
CHART & SOLUTION
{a} の一般項 (bn=an+1-an とする)
わからなければ,階差数列 {bm} を調べる
p.375 基本事項.Gha
n-1
n≧2のときabk
k=1
←
初項 (n=1の場合) は特別扱い。
解答で公式を使うときは n≧2 を忘れないように。 また, n=1
ように!
(1) 階差数列は 7, 9, 11, 13,
公差2の等差数列
(2)階差数列は 2, 4, 8, 16,
公比2の等比数列
解答
その場合の確認を忘れ
数列 {an} の階差数列を {bm} とする。
(1) 数列{bm} は, 7, 9, 11, 13,
公差2の等差数列である。
・・であるから, 初項 7,
8 15 24 35
差 : 791113
ゆえに
bn=7+(n-1)・2=2n+5
よって, n≧2のとき
n-1
k=1
an=a1+(2k+5)=8+2k+5
5)=8+2
n-1
n-1
k=1
k=1
(+)
=8+2・
1/12(n-1)n+5(n-1)=n²+4n+3
また,初項は α = 8 であるから,上の式は n=1のとき
☆ 「n≧2 のとき」とい
条件を忘れないよう
k=(n-1)-
-1
k=1
2
初項(n=1の場合:
特別扱い。
にも成り立つ。
以上により, 一般項 an は
an=n2+4n+3
(2) 数列{bm} は, 2, 4, 8, 16,
比2の等比数列である。 ゆえに
よって, n≧2 のとき
であるから, 初項 2, 公
bn=2.2"-1=2"
5 7 11 19 35
WW
差 : 2 4 8 16
← n≧2のとき」とい
n-1
an=1+2=5+
2(21-1-1)
条件を忘れないよう
-=2"+3
k=1
2-1
また,初項は α = 5 であるから,上の式は n=1のとき
←初項(n=1の場合
にも成り立つ。
以上により,一般項an は an=2"+3
特別扱い。
基
C
