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練
問
84 2つの放物線で囲まれた図形の面積
2つの放物線y=3x +12x ①, y= 5x-12x･･･ ② で囲まれた図形をF とする。
(1) 図形Fの面積Sは, S アイ である。
(2) 放物線 ①②の原点 0 以外の交点をAとする。 直線 OA の方程式はy= ウ x である。
S₁₁: S₁ = I
よって、直線 OA と放物線で囲まれる図形の面積を St, 直線 OA と放物線②で囲まれる図形の面積を S, とすると,
オである。
(3) 直線 y=mx(m>ウ) が図形 F の面積を1:8に分けるという。 このとき,直線y=mx と放物線 ①で囲まれた
[カキ]
図形の面積Sをm を用いて表すと, S, =
m.
[ケコ]
となるから, m の値を求めるとm=
である。
(1) 放物線 ①,②の共有点のx座標は, 2式を連立させて
-3x + 12x = 5x-12x より
よって, 図形Fの面積Sは
x=0,3
S₁ =
S = =-3x
-3x2+12x)-(5x-12x)}dx
=-8" x x(x-3)dx = -8.{-1/12(3-0)2}=
(2)x=3を① に代入すると, y=9であるから
よって, 直線 OA の方程式は y=3x であるから
=S-3
= 36
A(3, 9)
-3x2 +12x)-3x}dx
1
=-3fx
x(x-3)dx= -3•
-3.{-(3-0)} = 27
27 45
S = S + S2 より
Sz = S-S=36-
2
2
27 45
したがって S1 S2 =
=3:5
2
A
St
0
3
S
S₁ = −3 ſ*x(x− 3)dx
S2=
=S(3x-(5x-12x)}dx
(3)m>3において, 直線 y=mxが0<x<3 の範囲で放物線 ①と
交わるとき, y = mx と ① を連立させて
x{3x-(12-m)}= 0 より x = 0,
12-m
0<-
<3より3m<12
3
12-m
3
Ss=
12-m
3
mx = -3x2 +12x
{(-3x²+ 12x) - mx}dx =-3
12-m
12-m
-3√ √(x - 12m)dx
--3-1-1/2 (12="_o)'}= (12-m)
= =3
3
54
直線 y=mx が図形Fの面積を1:8に分けるとき,
=-5x(x-3)dx
であるから,定積分の値を計算
しなくても S:S2 = 3:5 とわ
かる。
(12-m)3
9S3 S が成り立つから 9.
= 36
54
よって
(12-m)=216
12-m は実数であるから, 12-m=6より
これは3<m 12 を満たすから m = 6
090
m = 6
216=6
放物線と1直線,2放物線で囲まれた図形の面積は,∫(x-a)(x-B)dx = 1/2(B-α) を利用せよ
6
(p.171)
右の図のような面積を求めるときには,必ず
f(x-1)(x-B)dx=-1/2 (B-α)が利用できる。
6
この公式を用いるときは,面積を定積分で表してから,x2の
V KV
B
係数αをくくり出して Saf (xa)(x-β)dx の形で表すことが大切である。5円
