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基礎問
138
第5章 微分法
76 三角関数の最大・最小(ⅡI)
COSに対して,次の問いに答えよ.
sin x+cos x
(1) t=sin+cosx とおくとき, f(x) をtで表せ.
(2) f(x) 0≦x≦における最大値と最小値を求めよ.
f(x)=
12のポイントをみると, (1) がなくても,まず, おきかえることを考
えた方がよいでしょう.
(1) f(x) は sinz と COS をとりかえても同じ式ですから, sin.,
COS に関する対称式 (数学Ⅰ・A5)といえます. だから, f(x) は
sinz+coszとsin.rcos』の式で表せます。数学Ⅰ・A70 によれば,
sin Icosェは sinz+coszで表すことができます。 (1)は,このことをいって
いるのです。
数学Ⅰ・A3 のに「式の特徴を見ぬく力｣が大切であるとかいてお
いたのは、こういうときのためなのです.
解答
(1) 2=1+2sinrcosx より
sinrcosr= =1/(-1)
1/22
このとき
sin+cosm
=(sin'x+cos'z)2-2sin' rcos'r
-1-2/2 (2²-1²
=-1/(t²-21²-1)
よって、f(x)=-2t-1
-2t
(2) t = √/2 sin (x + 7 ) において
sin'x+cos'x=1
数学ⅡI・B59 : 三角関数の合成
5π
4
-ssin(x+4) 1
π
0≤x≤ b, 4≤x+²
:: -1≤t≤√2
- 2t
次に,g(t)=-2t-1
g'(t)=-
TC
4
ポイント
演習問題 76
S
(右図参照)
とおくと
だから.
2(31¹-2t²+1)
(t¹-2t²-1)²
-2(t-2t²-1)-(-2t)(4t³-4t)
(t4-2t²-1)²
57
TL
√2
2{2t^+(t2-1)2}
(t²-2t²-1)²
ここで202-1)2 ≧0であり, 等号は同時に成立しないので
2t¹+(t²-1)²>0
ゆえに g'(t)>0 となり, g(t) は単調増加.
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よって、t=√2 すなわち,=Tのとき、最大値2√2
t=-1 すなわち, x=Tのとき, 最小値-1
注 (2)において, g' (t) > 0 でも,g '(t)≧0 でも,大ざっぱにとらえれ
ば,「単調増加」 ですから, 2≧0, (t2-1)2≧0より
2t+(t2-1)≧0」 でもよいのでしょうが,やはり, 等号が成りたたな
いのは事実ですから、 解答はきちんとかいておきました.
f'(x) ≧0 となるの範囲でf(x) は単調増加
f(x)=
sinr-cosr
について,次の問いに答えよ.
2+sinr cosr
(1) sinz-cos.x=t とおくとき, f(x) をtで表せ.
(2) f(x) の最大値 最小値を求めよ.
第5章
