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6章
37
3 最大値・最小値、
方程式・不等式
基本 例題217 最大値・最小値から3次関数の決定
00000
<a<3とする。 関数f(x)=2x-3ax2+b (0≦x≦) の最大値が10. 最小値が
18のとき, 定数a, bの値を求めよ。
指針 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。
解答
基本211
11の増減表から最小値はわかるが,最大値は候補が2つ出てくる。よって、その最大
値の候補の大小を比較しαの値で場合分けをして最大値をα 6で表す。
f(x)=6x2-6ax=6x(x-a)
f(x) = 0 とすると
x=0,a
0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x)の増減表は次の
ようになる。
Xx
0
f'(x)
f(x)
00
3
335
値を求めよ
基本
数になる。
主意。
含むときの注意点。
の3次関数になる。
る。
1=21
極小
b-a
b-27a+54
よって, 最小値はf(α) = b-αであり b-α=-18
y
f(0) f (3) を比較すると
最大値はf(0)=b または f(3)=6-27a+54 ①最大・最小
また,
①
< (最小値) =-18
極値と端の値をチェック
(3)-f(0)=-27a+54=-27(a-2)
①大小比較は差を作る
ゆえに
0<a<2 のとき (0) (3)
0
2≦a<3のとき(3)(0)
2
[1]0<a<2のとき,最大値は
よって
f(3)=6-27a+54
b-27a+54=10 すなわち 6=27a-44
(最大値) = 10
最小
これを①に代入して整理すると a-27a+26=0
条件。
ゆえに (a-1)(a²+a-26)=0
2>0
1
10-27
26 1
1-26
_M=logaM*
1±105
+10gaN=loga.
よって a=1,
11-26
0
2
0<a< 2 を満たすものは
a=1
場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
このとき ①から
b=-17
[ [2] 2≦a<3のとき,最大値は
f(0)=b
最大
よって b=10
これを①に代入して整理すると
Xの値を求
を求めよ
a3=28
2833 であるから, a=28>3となり、不適。
[1],[2] から
練習
a=1, 6=-17
(最大値) = 10
場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
a,bは定数とし, 0<a<1とする。 関数 f(x)=x+3ax2+b (−2≦x≦1) の最大
217 値が 1, 最小値が-5となるような α, bの値を求めよ。
[類 大阪市大〕
(p.344 EX140
