156 重心座標
(1) 同一直線上にない平面上の3点をA,B,Cとし, それぞれの位置ベク
トルをa,b,c とする.また, 平面上の任意の点Pの位置ベクトルをと
する。このときは+2+3=1を満足する実数II, I』を用いて
p=xia+x26+xC と表されることを証明せよ.
(岩手大)
(2) 三角形ABC の頂点A,B,Cの位置ベクトルをà,も,ことし,三角形
の内部の任意の点Pの位置ベクトルをDとする.方は
p=la+mb+nč, 1>0, m>0, n>0, 1+m+n=1
の形で表されることを証明せよ.
(1) Pが平面ABC上の点である必解法のプロセス
要十分条件は
(1) PE 平面 ABC
AP=αAB+ BAC
をみたす実数 α, β が存在することです. この式
を OP=x₂0A+x₂OB+x3OČ
の形に変形していきましょう。 ここで0は平面上
にあってもなくても構いません.
(2)Pが△ABCの内部の点である必要十分条
件は線分BC上に点 D が存在して
CROA
AP=sAD (0<s<1)
⇔精講
と書けることです。ここでDは
にあるAD=AB+tBC
(0<t<1)
と表されます。この式を
OP=10A+mOB+noč
の形に変形していきましょう.
B
P
D
C
⇔AP=αAB+BAC
をみたす実数 α, βが存在する
↓
34!
(早大)
始点を0とし、
OP=OA+12OP+1OC
解答
(1) AB とACは1次独立であるから,実数 α, βを用いて
AP=AB+ BAC
← PE平面ABC
と表すことができる。このとき
þ¬ã=a(b−ã)+ß(c-a)
D=(1-4-B)a+ab+Bc
(1+2+3=(1-α-β)+α+β=1
ここで、x1=1-α-β, x2=α, x=β とおけば
(2) PE△ABCの内部
⇔AP= s (AB+tBC)
0<s<1,0<t<1
をみたす実数 s, tが存在する
JAN
↓
始点を0とし、
OP=LOA+mOB+nOC
x₁+x₂+x₂=1
A
P
Li
l+m+n=1
1>0, m>0, n>0
B
